2017 AMC 12B Problema 13

Question

En la figura de abajo,

3

de los

6

discos se van a pintar de azul,

2

de rojo, y

1

de verde. Dos coloraciones que puedan obtenerse una de la otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones distintas son posibles?

In the figure below,

3

of the

6

disks are to be painted blue,

2

are to be painted red, and

1

is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

6

8

9

12

15

Respuesta: D

Conceptos:análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cuenta primero las coloraciones etiquetadas, luego aplica el lema de Burnside a las

6

simetrías del triángulo

Count the labeled colorings first, then apply Burnside’s Lemma to the

6

symmetries of the triangle

Pista grande:

Ninguna rotación distinta de la identidad fija coloración alguna; en una reflexión, los recuentos impares de discos verdes y azules deben usar los dos discos fijos

A nonidentity rotation fixes none; under a reflection, the odd green and blue counts must use the two fixed disks

Solución:

Antes de tener en cuenta la simetría, hay

\dfrac{6!}{3!2!}=60

coloraciones. Las dos rotaciones distintas de la identidad reparten los discos en dos ciclos de

3

, así que ninguna de ellas puede fijar una coloración con recuentos de colores

3,2,1.

Cada una de las

3

reflexiones fija

2

discos e intercambia los otros

4

en

2

parejas. Para que una coloración quede fija, el único disco verde y uno de los

3

discos azules deben ocupar las dos posiciones fijas, en

2

órdenes. De las dos parejas intercambiadas, cualquiera de ellas puede ser la pareja roja, lo que da

2\cdot2=4

coloraciones fijas por reflexión. El lema de Burnside da entonces

\dfrac{60+3(4)}{6}=12

coloraciones distintas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before accounting for symmetry, there are

\dfrac{6!}{3!2!}=60

paintings. The two nonidentity rotations partition the disks into two

3

-cycles, so neither can fix a painting having color counts

3,2,1.

Each of the

3

reflections fixes

2

disks and swaps the other

4

in

2

pairs. For a painting to be fixed, the lone green disk and one of the

3

blue disks must occupy the two fixed positions, in

2

orders. Of the two swapped pairs, either one can be the red pair, giving

2\cdot2=4

fixed paintings per reflection. Burnside’s Lemma therefore gives

\dfrac{60+3(4)}{6}=12

distinct paintings.

Thus, the correct answer is D.