Question

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo, y $1$ de verde. Dos coloraciones que puedan obtenerse una de la otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones distintas son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La figura tiene $3$ discos en las esquinas y $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ discos que no están en esquinas, con el grupo de simetría de un triángulo. $3,2,1.$

Fija el tipo del disco verde. $3$ $2$ $4$ $2$ $3$ $2$ $2\cdot2=4$ $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$

Si el verde está en una esquina, los dos discos rojos pueden colocarse de modo que ambos, uno o ninguno sea adyacente al verde, lo que da coloraciones distintas. Si el verde no está en una esquina, los dos rojos pueden tener ambos, uno o ninguno en una esquina, de nuevo coloraciones. Los discos azules ocupan el resto, por lo que el total es Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Before accounting for symmetry, there are $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ paintings. The two nonidentity rotations partition the disks into two $3$ -cycles, so neither can fix a painting having color counts $3,2,1.$

Each of the $3$ reflections fixes $2$ disks and swaps the other $4$ in $2$ pairs. For a painting to be fixed, the lone green disk and one of the $3$ blue disks must occupy the two fixed positions, in $2$ orders. Of the two swapped pairs, either one can be the red pair, giving $2\cdot2=4$ fixed paintings per reflection. Burnside's Lemma therefore gives $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ distinct paintings.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B Problema 13

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 13 en otros años