2016 AMC 12B Problema 4

Question

La razón entre las medidas de dos ángulos agudos es

5:4,

y el complemento de uno de estos dos ángulos es el doble del complemento del otro. ¿Cuál es la suma de las medidas, en grados, de los dos ángulos?

The ratio of the measures of two acute angles is

5:4,

and the complement of one of these two angles is twice as large as the complement of the other. What is the sum of the degree measures of the two angles?

75

90

135

150

270

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Sean los ángulos

\alpha\lt\beta

con

\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac54

.

Let the angles be

\alpha\lt\beta

with

\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac54

Pista grande:

Los complementos son

90-\alpha

y

90-\beta;

plantea

90-\alpha=2(90-\beta)

.

The complements are

90-\alpha

and

90-\beta;

set

90-\alpha=2(90-\beta)

Solución:

Sean los ángulos

\alpha\lt\beta

con

\beta=\tfrac54\alpha.

El complemento mayor corresponde al ángulo menor, así que

90-\alpha=2(90-\beta)=180-\tfrac52\alpha.

Esto da

\tfrac32\alpha=90,

por lo que

\alpha=60^\circ

y

\beta=75^\circ.

La suma es

135^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the angles be

\alpha\lt\beta

with

\beta=\tfrac54\alpha.

The larger complement belongs to the smaller angle, so

90-\alpha=2(90-\beta)=180-\tfrac52\alpha.

This gives

\tfrac32\alpha=90,

so

\alpha=60^\circ

and

\beta=75^\circ.

The sum is

135^\circ.

Thus, the correct answer is C.