2016 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2016 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

La sucesión

(a_n)

se define recursivamente por

a_0=1,

a_1=\sqrt[19]{2},

y

a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2

para

n\ge2.

¿Cuál es el menor entero positivo

k

tal que el producto

a_1a_2\cdots a_k

es un entero?

The sequence

(a_n)

is defined recursively by

a_0=1,

a_1=\sqrt[19]{2},

and

a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2

for

n\ge2.

What is the smallest positive integer

k

such that the product

a_1a_2\cdots a_k

is an integer?

17

18

19

20

21

Respuesta: A

Conceptos:recursión aritmética modular orden multiplicativo

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Escribe

a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.

Entonces

b_0=0,

b_1=1,

y

b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}

.

Write

a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.

Then

b_0=0,

b_1=1,

and

b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}

Pista grande:

El producto es un entero exactamente cuando

b_1+b_2+\cdots+b_k

es divisible por

19;

resuelve

b_n=\tfrac13(2^n-(-1)^n)

y usa el orden de

2

módulo

19

.

The product is an integer exactly when

b_1+b_2+\cdots+b_k

is divisible by

19;

solve

b_n=\tfrac13(2^n-(-1)^n)

and use the order of

2

modulo

19

Solución:

Escribamos

a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.

La recurrencia se convierte en

b_0=0,

b_1=1,

b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},

cuya solución es

b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).

El producto

a_1\cdots a_k

es entero exactamente cuando

b_1+\cdots+b_k

es divisible por

19.

Al sumar la fórmula para

b_n

, obtenemos

b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-1}{3}

cuando

k

es impar, y

b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-2}{3}

cuando

k

es par.

El orden de

2

módulo

19

es

18

porque

2^9\equiv-1\pmod{19}

y

2^6\not\equiv1\pmod{19}.

Para

k

impar, la divisibilidad exige que

k+1

sea divisible por

18,

lo que ocurre por primera vez en

k=17.

Para

k

par, exige que

k

sea divisible por

18,

lo que ocurre por primera vez en

k=18.

Por tanto, el menor

k

positivo es

17.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write

a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.

The recursion becomes

b_0=0,

b_1=1,

b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},

solved by

b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).

The product

a_1\cdots a_k

is an integer exactly when

b_1+\cdots+b_k

is divisible by

19.

Summing the formula for

b_n

gives

b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-1}{3}

when

k

is odd, and

b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-2}{3}

when

k

is even.

The order of

2

modulo

19

is

18

because

2^9\equiv-1\pmod{19}

and

2^6\not\equiv1\pmod{19}.

For odd

k,

divisibility therefore requires

k+1

to be divisible by

18,

first occurring at

k=17.

For even

k,

it requires

k

to be divisible by

18,

first occurring at

k=18.

Hence the smallest positive

k

is

17.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 25 en otros años