2014 AMC 12A Problema 25

Question

La parábola

P

tiene foco

(0,0)

y pasa por los puntos

(4,3)

y

(-4,-3).

¿Para cuántos puntos

(x,y)\in P

con coordenadas enteras se cumple que

|4x+3y|\le1000

?

The parabola

P

has focus

(0,0)

and goes through the points

(4,3)

and

(-4,-3).

For how many points

(x,y)\in P

with integer coordinates is it true that

|4x+3y|\le1000?

38

40

42

44

46

Respuesta: B

Conceptos:parábola punto reticular Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

(0,0)

es el punto medio de

(4,3)

y

(-4,-3),

así que esta cuerda es el lado recto y la directriz es paralela a ella

(0,0)

is the midpoint of

(4,3)

and

(-4,-3),

so this chord is the latus rectum and the directrix is parallel to it

Pista grande:

La directriz es

4y-3x+25=0

; parametriza los puntos reticulares y reduce

|4x+3y|

a

|50u+25|\le1000

.

The directrix is

4y-3x+25=0

; parametrize the lattice points and reduce

|4x+3y|

to

|50u+25|\le1000

Solución:

Como

(0,0)

es el punto medio de

A=(4,3)

y

B=(-4,-3),

el segmento

AB

es el lado recto, así que la directriz es paralela a

AB

a distancia

5

del lado opuesto, a saber

4y-3x+25=0.

Igualando las distancias al foco y a la directriz se obtiene

(4x+3y)^2

=25\big(25+2(4y-3x)\big).

Escribir

4x+3y=5s

obliga a que

s

sea múltiplo de

5,

y

s=5t

obliga a que

t

sea impar; con

t=2u+1

los puntos enteros son

\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}

Entonces

|4x+3y|=|50u+25|\le1000

si y solo si

|2u+1|\le39,

es decir

-20\le u\le19.

Eso da

40

puntos reticulares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

(0,0)

is the midpoint of

A=(4,3)

and

B=(-4,-3),

the segment

AB

is the latus rectum, so the directrix is parallel to

AB

at distance

5

on the far side, namely

4y-3x+25=0.

Equating distances to focus and directrix gives

(4x+3y)^2

=25\big(25+2(4y-3x)\big).

Writing

4x+3y=5s

forces

s

to be a multiple of

5,

and

s=5t

forces

t

odd; with

t=2u+1

the integer points are

\begin{aligned} x&=-6u^2+2u+4,\\ y&=8u^2+14u+3. \end{aligned}

Then

|4x+3y|=|50u+25|\le1000

iff

|2u+1|\le39,

i.e.

-20\le u\le19.

That gives

40

lattice points.

Thus, the correct answer is B.