2013 AMC 12B Problema 13

Question

Los ángulos internos del cuadrilátero

ABCD

forman una progresión aritmética. Los triángulos

ABD

y

DCB

son semejantes, con

\angle DBA = \angle DCB

y

\angle ADB = \angle CBD.

Además, los ángulos de cada uno de estos dos triángulos también forman una progresión aritmética. En grados, ¿cuál es la mayor suma posible de los dos ángulos más grandes de

ABCD

?

The internal angles of quadrilateral

ABCD

form an arithmetic progression. Triangles

ABD

and

DCB

are similar with

\angle DBA = \angle DCB

and

\angle ADB = \angle CBD.

Moreover, the angles in each of these two triangles also form an arithmetic progression. In degrees, what is the largest possible sum of the two largest angles of

ABCD?

210

220

230

240

250

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética persecución de ángulos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando su ángulo del medio es

60^\circ

.

A triangle’s angles form an arithmetic progression exactly when its middle angle is

60^\circ

Pista grande:

Sea

\angle DBA = x

y

\angle ADB = y;

los cuatro ángulos de

ABCD

resultan

x, y, 180-y, 180-x,

que deben formar una progresión aritmética con un ángulo del triángulo igual a

60^\circ

.

Let

\angle DBA = x

and

\angle ADB = y;

the four angles of

ABCD

become

x, y, 180-y, 180-x,

which must be an arithmetic progression with one triangle angle equal to

60^\circ

Solución:

Los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética exactamente cuando el ángulo medio es

60^\circ.

Con

\angle DBA = x

y

\angle ADB = y,

los cuatro ángulos de

ABCD

son

x, y, 180 - y, 180-x,

y también deben formar una progresión aritmética. En orden creciente son

x,y,180-y,180-x

o

x,180-y,y,180-x,

lo que da

3y=x+180

o

3y=360-x.

Uno de los ángulos del triángulo

x,y,180-x-y

es

60^\circ.

Al sustituir quedan los conjuntos de ángulos

(60,80,100,120)

y

(45,75,105,135).

Los dos ángulos mayores suman como máximo

105 + 135 = 240.

Así, la respuesta correcta es D.

The angles of a triangle form an arithmetic progression exactly when the middle one is

60^\circ.

With

\angle DBA = x

and

\angle ADB = y,

the four angles of

ABCD

are

x, y, 180 - y, 180-x,

which must itself be an arithmetic progression. In increasing order they are either

x,y,180-y,180-x

or

x,180-y,y,180-x,

giving

3y=x+180

or

3y=360-x.

One of the triangle angles

x,y,180-x-y

is

60^\circ.

Substitution leaves the angle sets

(60,80,100,120)

and

(45,75,105,135).

The two largest angles sum to at most

105 + 135 = 240.

Thus, the correct answer is D.