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2013 AMC 12A Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2013 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Los ángulos de cierto triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de los lados son 4,5,4, 5, y x.x. La suma de los posibles valores de xx es igual a a+b+c,a + \sqrt{b} + \sqrt{c}, donde a,b,a, b, y cc son enteros positivos. ¿Cuánto vale a+b+ca + b + c?

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are 4,5,4, 5, and x.x. The sum of the possible values of xx equals a+b+c,a + \sqrt{b} + \sqrt{c}, where a,b,a, b, and cc are positive integers. What is a+b+c?a + b + c?

3636

3838

4040

4242

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Respuesta: A
Conceptos:sucesión aritméticaley de los cosenosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1740
Solución:

Si los ángulos son α−δ,α,α+δ,\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta, su suma 3α=180∘3\alpha = 180^\circ da α=60∘,\alpha = 60^\circ, así que uno de los ángulos es 60∘.60^\circ.

Si xx se opone al ángulo de 60∘60^\circ, la Ley de Cosenos da así que x=21.x = \sqrt{21}. x2=42+52−2⋅4⋅5cos⁡60∘=21, \begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}

Si 55 se opone al ángulo de 60∘60^\circ, entonces 25=x2−4x+16,25 = x^2 - 4x + 16, cuya solución positiva es x=2+13.x = 2 + \sqrt{13}. Si 44 se opone a dicho ángulo, entonces 16=x2−5x+2516 = x^2 - 5x + 25 no tiene solución real.

La suma de los posibles valores es 2+13+21,2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}, así que a+b+c=2+13+21=36.a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the angles are α−δ,α,α+δ,\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta, their sum 3α=180∘3\alpha = 180^\circ gives α=60∘,\alpha = 60^\circ, so one angle is 60∘.60^\circ.

If xx is opposite the 60∘60^\circ angle, the Law of Cosines gives x2=42+52−2⋅4⋅5cos⁡60∘=21, \begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered} so x=21.x = \sqrt{21}.

If 55 is opposite the 60∘60^\circ angle, then 25=x2−4x+16,25 = x^2 - 4x + 16, whose positive solution is x=2+13.x = 2 + \sqrt{13}. If 44 is opposite, then 16=x2−5x+2516 = x^2 - 5x + 25 has no real solution.

The sum of the possible values is 2+13+21,2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}, so a+b+c=2+13+21=36.a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.

Thus, the correct answer is A.

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