2012 AMC 12B Problema 13

Question

Dos parábolas tienen ecuaciones

y = x^2 + ax + b

y

y = x^2 + cx + d,

donde

a,

b,

c,

y

d

son enteros (no necesariamente distintos), cada uno elegido independientemente lanzando un dado justo de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que las parábolas tengan al menos un punto en común?

Two parabolas have equations

y = x^2 + ax + b

and

y = x^2 + cx + d,

where

a,

b,

c,

and

d

are integers (not necessarily different), each chosen independently by rolling a fair six-sided die. What is the probability that the parabolas have at least one point in common?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{25}{36}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{31}{36}

1

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica conteo complementario dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Al igualar los dos lados derechos, los términos

x^2

se cancelan, dejando

ax+b=cx+d

Setting the two right sides equal, the

x^2

terms cancel, leaving

ax+b=cx+d

Pista grande:

No hay punto común exactamente cuando

a=c

y

b\neq d;

halla esa probabilidad y réstala de

1

There is no common point exactly when

a=c

and

b\neq d;

find that probability and subtract from

1

Solución:

Las parábolas se cortan donde

x^2+ax+b=x^2+cx+d,

es decir

ax+b=cx+d.

Esto no tiene solución exactamente cuando las rectas son paralelas y distintas:

a=c

y

b\neq d.

La probabilidad de que

a=c

es

\tfrac16,

y la probabilidad de que

b\neq d

es

\tfrac56,

así que la probabilidad de que no haya punto común es

\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.

La probabilidad de al menos un punto común es

1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parabolas meet where

x^2+ax+b=x^2+cx+d,

i.e.

ax+b=cx+d.

This has no solution exactly when the lines are parallel and distinct:

a=c

and

b\neq d.

The probability that

a=c

is

\tfrac16,

and the probability that

b\neq d

is

\tfrac56,

so the probability of no common point is

\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.

The probability of at least one common point is

1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.

Thus, the correct answer is D.