2012 AMC 12B Problema 12

Question

¿Cuántas sucesiones de ceros y/o unos de longitud

20

tienen todos los ceros consecutivos, o todos los unos consecutivos, o ambas cosas?

How many sequences of zeros and/or ones of length

20

have all the zeros consecutive, or all the ones consecutive, or both?

190

192

211

380

382

Respuesta: E

Conceptos:inclusión-exclusión combinaciones

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea

A

el conjunto de sucesiones con todos los ceros juntos y

B

las de todos los unos juntos, luego usa

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

.

Let

A

be the sequences with all zeros together and

B

those with all ones together, then use

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

Pista grande:

Una sucesión con los ceros juntos queda determinada al elegir la posición del primer y del último cero, lo que da

1+20+\binom{20}{2}

de ellas.

A sequence with the zeros together is fixed by choosing the first and last zero positions, giving

1+20+\binom{20}{2}

of them

Solución:

Sea

A

el conjunto de sucesiones en las que todos los ceros son consecutivos y

B

aquellas en las que todos los unos son consecutivos.

Para

A,

hay una sucesión con todos unos,

20

sucesiones con exactamente un cero, y

\binom{20}{2}=190

sucesiones con dos o más ceros (se elige la posición del primer y del último cero). Así que

|A|=1+20+190=211,

y por simetría

|B|=211.

Una sucesión en

A\cap B

es un bloque de ceros seguido de un bloque de unos, o al revés; hay

|A\cap B|=40

de estas.

Por lo tanto

|A\cup B|=211+211-40

=382.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

A

be the sequences in which all zeros are consecutive and

B

those in which all ones are consecutive.

For

A,

there is one all-ones sequence,

20

sequences with exactly one zero, and

\binom{20}{2}=190

sequences with two or more zeros (choose the first and last zero position). So

|A|=1+20+190=211,

and by symmetry

|B|=211.

A sequence in

A\cap B

is a block of zeros followed by a block of ones, or the reverse; there are

|A\cap B|=40

of these.

Therefore

|A\cup B|=211+211-40

=382.

Thus, the correct answer is E.