2012 AMC 12A Problema 13

Question

Paula la pintora y sus dos ayudantes pintan cada uno a un ritmo constante, pero diferente. Siempre comienzan a las

8{:}00

AM y los tres siempre tardan lo mismo en almorzar. El lunes los tres pintaron el

50\%

de una casa y terminaron a las

4{:}00

PM. El martes, cuando Paula no estaba, los dos ayudantes pintaron solo el

24\%

de la casa y terminaron a las

2{:}12

PM. El miércoles Paula trabajó sola y terminó la casa trabajando hasta las

7{:}12

PM. ¿Cuántos minutos duraba el descanso para almorzar cada día?

Paula the painter and her two helpers each paint at constant, but different, rates. They always start at

8{:}00

AM and all three always take the same amount of time to eat lunch. On Monday the three of them painted

50\%

of a house, quitting at

4{:}00

PM. On Tuesday, when Paula wasn’t there, the two helpers painted only

24\%

of the house and quit at

2{:}12

PM. On Wednesday Paula worked by herself and finished the house by working until

7{:}12

PM. How long, in minutes, was each day’s lunch break?

30

36

42

48

60

Respuesta: D

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Sea

m

el descanso para almorzar en minutos y sean

p

y

h

los ritmos de pintado (porcentaje por minuto)

Let the lunch break be

m

minutes and let

p

and

h

be the painting rates (percent per minute)

Pista grande:

Los minutos de trabajo son

480 - m,

372 - m,

y

672 - m

; plantea

(p+h)(480-m) = 50,

h(372-m) = 24,

p(672-m) = 26

Working minutes are

480 - m,

372 - m,

and

672 - m

; set up

(p+h)(480-m) = 50,

h(372-m) = 24,

p(672-m) = 26

Solución:

Sea

m

la duración del almuerzo en minutos. Los tres trabajaron

480 - m

minutos el lunes, los ayudantes

372 - m

minutos el martes, y Paula

672 - m

minutos el miércoles.

Si Paula pinta

p\%

por minuto y los ayudantes juntos pintan

h\%

por minuto, entonces

\begin{aligned} (p+h)(480-m) &= 50, \\ h(372-m) &= 24, \\ p(672-m) &= 26. \end{aligned}

Sumar las dos últimas ecuaciones y restarlas de la primera da

108h - 192p = 0,

así que

h = \tfrac{16}{9}p.

Al resolver el sistema se obtiene

p = \tfrac{1}{24}

y

m = 48.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

m

be the lunch length in minutes. The three worked

480 - m

minutes Monday, the helpers

372 - m

minutes Tuesday, and Paula

672 - m

minutes Wednesday.

If Paula paints

p\%

per minute and the helpers together paint

h\%

per minute, then

\begin{aligned} (p+h)(480-m) &= 50, \\ h(372-m) &= 24, \\ p(672-m) &= 26. \end{aligned}

Adding the last two equations and subtracting from the first gives

108h - 192p = 0,

so

h = \tfrac{16}{9}p.

Solving the system gives

p = \tfrac{1}{24}

and

m = 48.

Thus, the correct answer is D.