2011 AMC 12B Problema 12

Question

Un tablero de dardos es un octógono regular dividido en regiones como se muestra. Supón que un dardo lanzado al tablero tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto del tablero. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga dentro del cuadrado central?

A dart board is a regular octagon divided into regions as shown. Suppose that a dart thrown at the board is equally likely to land anywhere on the board. What is the probability that the dart lands within the center square?

\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

2-\sqrt{2}

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad geométrica descomposición de áreas polígono regular

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Fija la arista del octógono en

1

y divídelo en el cuadrado central, cuatro rectángulos y cuatro triángulos en las esquinas.

Set the octagon’s edge to

1

and split it into the center square, four rectangles, and four corner triangles

Pista grande:

Los triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos

\dfrac{\sqrt2}{2}

.

The corner triangles are right isosceles with legs

\dfrac{\sqrt2}{2}

Solución:

Supón que el octógono tiene arista de longitud

1.

Los cuatro triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos

\dfrac{\sqrt2}{2}

y área

\dfrac14

cada uno. Los cuatro rectángulos son

1

por

\dfrac{\sqrt2}{2}

con área

\dfrac{\sqrt2}{2}

cada uno, y el cuadrado central tiene área

1.

El área total es

4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.

La probabilidad de acertar en el cuadrado central es

\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Assume the octagon has edge length

1.

The four corner triangles are right isosceles with legs

\dfrac{\sqrt2}{2}

and area

\dfrac14

each. The four rectangles are

1

by

\dfrac{\sqrt2}{2}

with area

\dfrac{\sqrt2}{2}

each, and the center square has area

1.

The total area is

4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.

The probability of hitting the center square is

\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.

Thus, the correct answer is A.