2010 AMC 12B Problema 12

Question

¿Para qué valor de

x

se cumple

\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}

For what value of

x

does

\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}

8

16

32

256

1024

Conceptos:logaritmo

Convierte cada término a base

2;

sea

L=\log_2 x

Convert every term to base

2;

let

L=\log_2 x

Cada uno de los cinco términos se simplifica a

L

Each of the five terms simplifies to

L

Sea

L=\log_2 x.

Convirtiendo cada término a base

2:

\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,

\log_2 x=L,

\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,

\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,

y

\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.

La ecuación se convierte en

5L=40,

así que

L=8

y

x=2^8=256.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

L=\log_2 x.

Converting each term to base

2:

\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,

\log_2 x=L,

\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,

\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,

and

\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.

The equation becomes

5L=40,

so

L=8

and

x=2^8=256.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 12 en otros años