2009 AMC 12B Problema 25

Question

El conjunto

G

está definido por los puntos

(x, y)

de coordenadas enteras con

3 \le |x| \le 7,

y

3 \le |y| \le 7.

¿Cuántos cuadrados de lado al menos

6

tienen sus cuatro vértices en

G

?

The set

G

is defined by the points

(x, y)

with integer coordinates,

3 \le |x| \le 7,

and

3 \le |y| \le 7.

How many squares of side at least

6

have their four vertices in

G?

125

150

175

200

225

Respuesta: E

Conceptos:punto reticular biyección conteo de figuras en diagramas

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

G

se divide en cuatro bloques

5 \times 5

, uno por cuadrante; un cuadrado de lado

\ge 6

toma exactamente un vértice de cada bloque.

G

splits into four

5 \times 5

blocks, one per quadrant; a side-

\ge 6

square takes exactly one vertex from each block

Pista grande:

Desliza los cuatro bloques juntándolos en una sola cuadrícula

5 \times 5

G';

cada cuadrado válido se corresponde con un punto de

G'

o con un cuadrado en

G'

.

Slide the four blocks together onto a single

5 \times 5

grid

G';

each valid square maps to a point of

G'

or a square in

G'

Solución:

El conjunto

G

consta de cuatro bloques

5 \times 5

,

G_1, \ldots, G_4,

uno en cada cuadrante. Todo cuadrado de lado

\ge 6

usa exactamente un vértice de cada bloque, pues dos puntos de un mismo bloque están a menos de

6

unidades, mientras que los puntos de bloques distintos están separados por al menos

6

unidades.

Al trasladar cada bloque hacia el origen mediante

(\pm 5, \pm 5)

, los cuatro se superponen en una cuadrícula

5 \times 5

,

G'

, formada por los puntos con

|x|, |y| \le 2

. Cada uno de los cuadrados buscados se transforma en un solo punto de

G'

o en un cuadrado de

G'.

Por tanto, el número buscado es el número de puntos de

G'

más

4

veces el número de cuadrados con vértices en

G'.

La cuadrícula contiene

4^2+3^2+2^2+1^2=30

cuadrados con lados paralelos a los ejes. Para un cuadrado inclinado, supongamos que uno de sus lados avanza

a

unidades horizontalmente y

b

unidades verticalmente, donde

a,b\gt0

y

a+b\le4.

Para cada par ordenado

(a,b),

hay

(5-a-b)^2

posiciones. Los totales para

a+b=2,3,4

son

9,8,3,

respectivamente, lo que da

20

cuadrados inclinados y

50

cuadrados en total. Por consiguiente, la cantidad pedida es

25+4\cdot50=225.

Así, la respuesta correcta es E.

G

consists of four

5 \times 5

blocks

G_1, \ldots, G_4,

one in each quadrant. Any square of side

\ge 6

uses exactly one vertex in each block, since two points in one block are less than

6

apart while points in different blocks are at least

6

apart.

Sliding each block inward by

(\pm 5, \pm 5)

superimposes them on one

5 \times 5

grid

G'

(points with

|x|, |y| \le 2

). Each such square maps to either a single point of

G'

or a square in

G'.

So the count equals the number of points of

G'

plus

4

times the number of squares with vertices in

G'.

The grid has

4^2+3^2+2^2+1^2=30

axis-parallel squares. For a tilted square, let one side move

a

units horizontally and

b

units vertically, where

a,b\gt0

and

a+b\le4.

For each ordered pair

(a,b),

there are

(5-a-b)^2

placements. The totals for

a+b=2,3,4

are

9,8,3,

respectively, giving

20

tilted squares and

50

squares altogether. Therefore the required count is

25+4\cdot50=225.

Thus, the correct answer is E.