2008 AMC 12A Problema 21

Question

Una permutación

(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)

de

(1, 2, 3, 4, 5)

es cola pesada si

a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.

¿Cuál es el número de permutaciones de cola pesada?

A permutation

(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)

of

(1, 2, 3, 4, 5)

is heavy-tailed if

a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.

What is the number of heavy-tailed permutations?

36

40

44

48

52

Respuesta: D

Conceptos:permutaciones simetría conteo complementario

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Por simetría,

a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5

y

a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5

ocurren con igual frecuencia.

By symmetry,

a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5

and

a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5

occur equally often

Pista grande:

Cuenta las permutaciones equilibradas

a_1 + a_2 = a_4 + a_5;

aquí

a_3 \in \{1, 3, 5\}

.

Count the balanced permutations

a_1 + a_2 = a_4 + a_5;

here

a_3 \in \{1, 3, 5\}

Solución:

Llamemos equilibrada a una permutación si

a_1 + a_2 = a_4 + a_5.

Invertir las entradas intercambia los dos casos estrictos, así que las permutaciones de cola pesada y las de cabeza pesada son igual de numerosas.

El total

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

es impar, así que en una permutación equilibrada

a_3

debe ser impar, uno de

1, 3, 5.

Para cada elección, los cuatro números restantes se dividen de manera única en dos pares de igual suma.

Cualquiera de los cuatro puede ser

a_1

(fijando

a_2

), y cualquiera de los números restantes puede ser

a_4

(fijando

a_5

), lo que da

3 \cdot 4 \cdot 2 = 24

permutaciones equilibradas.

Las otras

120 - 24 = 96

permutaciones se dividen por igual, así que hay

\tfrac{96}{2} = 48

permutaciones de cola pesada.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Call a permutation balanced if

a_1 + a_2 = a_4 + a_5.

Reversing the entries swaps the two strict cases, so heavy-tailed and heavy-headed permutations are equally numerous.

The total

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

is odd, so in a balanced permutation

a_3

must be odd, one of

1, 3, 5.

For each choice, the remaining four numbers split uniquely into two equal-sum pairs.

Any of the four can be

a_1

(fixing

a_2

), and either remaining number can be

a_4

(fixing

a_5

), giving

3 \cdot 4 \cdot 2 = 24

balanced permutations.

The other

120 - 24 = 96

permutations split evenly, so there are

\tfrac{96}{2} = 48

heavy-tailed permutations.

Thus, D is the correct answer.