2008 AMC 12A Problema 12

Question

Una función

f

tiene dominio

[0, 2]

y rango

[0, 1].

(La notación

[a, b]

denota

\{x : a \le x \le b\}.

) ¿Cuáles son el dominio y el rango, respectivamente, de la función

g

definida por

g(x) = 1 - f(x + 1)?

A function

f

has domain

[0, 2]

and range

[0, 1].

(The notation

[a, b]

denotes

\{x : a \le x \le b\}.

) What are the domain and range, respectively, of the function

g

defined by

g(x) = 1 - f(x + 1)?

[-1, 1],

[-1, 0]

[-1, 1],

[0, 1]

[0, 2],

[-1, 0]

[1, 3],

[-1, 0]

[1, 3],

[0, 1]

Respuesta: B

Conceptos:función

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

f(x + 1)

está definida cuando

0 \le x + 1 \le 2

.

f(x + 1)

is defined when

0 \le x + 1 \le 2

Pista grande:

Restar

f(x + 1) \in [0, 1]

de

1

invierte el intervalo pero lo mantiene

[0, 1]

.

Subtracting

f(x + 1) \in [0, 1]

from

1

reverses the interval but keeps it

[0, 1]

Solución:

El valor

f(x + 1)

está definido cuando

0 \le x + 1 \le 2,

es decir,

-1 \le x \le 1,

así que el dominio de

g

es

[-1, 1].

Cuando

f(x + 1)

recorre

[0, 1],

el valor

1 - f(x + 1)

recorre

[0, 1]

también, así que el rango de

g

es

[0, 1].

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The value

f(x + 1)

is defined when

0 \le x + 1 \le 2,

that is,

-1 \le x \le 1,

so the domain of

g

is

[-1, 1].

As

f(x + 1)

ranges over

[0, 1],

the value

1 - f(x + 1)