2007 AMC 12B Problema 20

Question

El paralelogramo delimitado por las rectas

y=ax+c,

y=ax+d,

y=bx+c,

y

y=bx+d

tiene área

18.

El paralelogramo delimitado por las rectas

y=ax+c,

y=ax-d,

y=bx+c,

y

y=bx-d

tiene área

72.

Dado que

a,

b,

c,

y

d

son enteros positivos, ¿cuál es el menor valor posible de

a+b+c+d

?

The parallelogram bounded by the lines

y=ax+c,

y=ax+d,

y=bx+c,

and

y=bx+d

has area

18.

The parallelogram bounded by the lines

y=ax+c,

y=ax-d,

y=bx+c,

and

y=bx-d

has area

72.

Given that

a,

b,

c,

and

d

are positive integers, what is the smallest possible value of

a+b+c+d?

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Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica paralelogramo optimización

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

El primer paralelogramo tiene área

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|};

el segundo tiene área

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}

.

The first parallelogram has area

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|};

the second has area

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}

Pista grande:

Restar da

4cd=54|b-a|;

luego minimiza con enteros positivos pequeños.

Subtracting gives

4cd=54|b-a|;

then minimize with small positive integers

Solución:

Dos vértices del primer paralelogramo están en

(0,c)

y

(0,d),

y los otros dos tienen coordenadas

x

iguales a

\pm\dfrac{c-d}{b-a}.

Su área resulta ser

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18.

El mismo cálculo para el segundo da

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.

Así que

(c-d)^2=18|b-a|

y

(c+d)^2=72|b-a|.

Restando,

4cd=54|b-a|,

es decir,

2cd=27|b-a|.

Por tanto

|b-a|

es par, así que

a+b

es mínimo con

\{a,b\}=\{1,3\};

y

cd

es un múltiplo de

27,

así que

c+d

es mínimo con

\{c,d\}=\{3,9\}.

Estos satisfacen todas las condiciones, dando

a+b+c+d=1+3+3+9

=16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Two vertices of the first parallelogram lie at

(0,c)

and

(0,d),

and the other two have

x

-coordinates

\pm\dfrac{c-d}{b-a}.

Its area works out to

\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18.

The same computation for the second gives

\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.

So

(c-d)^2=18|b-a|

and

(c+d)^2=72|b-a|.

Subtracting,

4cd=54|b-a|,

i.e.

2cd=27|b-a|.

Thus

|b-a|

is even, so

a+b

is smallest with

\{a,b\}=\{1,3\};

and

cd

is a multiple of

27,

so

c+d