2006 AMC 12B Problema 12

Question

La parábola

y = ax^2 + bx + c

tiene vértice

(p, p)

e intersección con el eje

y

en

(0, -p),

donde

p \neq 0.

¿Cuánto vale

b

?

The parabola

y = ax^2 + bx + c

has vertex

(p, p)

and

y

-intercept

(0, -p),

where

p \neq 0.

What is

b?

-p

0

2

4

p

Respuesta: D

Conceptos:parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Escribe la parábola en forma canónica

y = a(x - p)^2 + p

.

Write the parabola in vertex form

y = a(x - p)^2 + p

Pista grande:

Usa la intersección con el eje

y

para hallar

a

en términos de

p,

y luego lee el coeficiente de

x

.

Use the

y

-intercept to find

a

in terms of

p,

then read off the coefficient of

x

Solución:

La forma canónica es

y = a(x - p)^2 + p.

En

x = 0,

y = ap^2 + p = -p,

así que

ap^2 = -2p

y

a = -\dfrac{2}{p}.

Al desarrollar,

y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,

así que

b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertex form is

y = a(x - p)^2 + p.

At

x = 0,

y = ap^2 + p = -p,

so

ap^2 = -2p

and

a = -\dfrac{2}{p}.

Expanding,

y = a x^2 - 2ap\, x + ap^2 + p,

so

b = -2ap = -2\left(-\dfrac{2}{p}\right)p = 4.

Thus, the correct answer is D.