2004 AMC 12A Problema 13

Question

Sea

S

el conjunto de puntos

(a, b)

en el plano coordenado, donde cada uno de

a

y

b

puede ser

-1,

0,

o

1.

¿Cuántas rectas distintas pasan por al menos dos elementos de

S

?

Let

S

be the set of points

(a, b)

in the coordinate plane, where each of

a

and

b

may be

-1,

0,

or

1.

How many distinct lines pass through at least two members of

S?

8

20

24

27

36

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular combinaciones

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Comienza con los

\binom{9}{2}

pares de puntos, cada uno de los cuales determina una recta.

Start from the

\binom{9}{2}

pairs of points, each of which determines a line

Pista grande:

Algunas rectas pasan por tres puntos colineales y se cuentan

\binom{3}{2} = 3

veces.

Some lines pass through three collinear points and get counted

\binom{3}{2} = 3

times

Solución:

Hay

\binom{9}{2} = 36

pares de puntos, y cada par determina una recta.

Sin embargo, hay tres rectas horizontales, tres verticales y dos diagonales que cada una pasa por tres puntos colineales de

S.

Cada una de esas rectas se cuenta

3

veces, un exceso de

2

por recta.

Con

8

rectas de este tipo, el número de rectas distintas es

36 - 2 \cdot 8 = 20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are

\binom{9}{2} = 36

pairs of points, and each pair determines a line.

However, there are three horizontal, three vertical, and two diagonal lines that each pass through three collinear points of

S.

Each such line is counted

3

times, an overcount of

2

per line.

With

8

such lines, the number of distinct lines is

36 - 2 \cdot 8 = 20.

Thus, the correct answer is B.