2004 AMC 12A Problema 12

Question

Sean

A = (0, 9)

y

B = (0, 12).

Los puntos

A'

y

B'

están sobre la recta

y = x,

y

\overline{AA'}

y

\overline{BB'}

se cortan en

C = (2, 8).

¿Cuál es la longitud de

\overline{A'B'}

?

Let

A = (0, 9)

and

B = (0, 12).

Points

A'

and

B'

are on the line

y = x,

and

\overline{AA'}

and

\overline{BB'}

intersect at

C = (2, 8).

What is the length of

\overline{A'B'}?

2

2\sqrt{2}

3

2 + \sqrt{2}

3\sqrt{2}

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Halla las ecuaciones de las rectas

AC

y

BC,

luego interseca cada una con

y = x

.

Find the equations of lines

AC

and

BC,

then intersect each with

y = x

Pista grande:

A'

y

B'

ambos están sobre

y = x,

así que cada uno tiene coordenadas iguales.

A'

and

B'

both lie on

y = x,

so each has equal coordinates

Solución:

La recta

AC

pasa por

(0, 9)

con pendiente

\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,

así que su ecuación es

y = -\tfrac12 x + 9.

Al hacer

y = x

se obtiene

A' = (6, 6).

La recta

BC

pasa por

(0, 12)

con pendiente

-2,

así que

y = -2x + 12.

Al hacer

y = x

se obtiene

B' = (4, 4).

Entonces

\begin{aligned} A'B' &= \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - 4)^2} \\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Line

AC

passes through

(0, 9)

with slope

\tfrac{8 - 9}{2 - 0} = -\tfrac12,

so its equation is

y = -\tfrac12 x + 9.

Setting

y = x

gives

A' = (6, 6).