2003 AMC 12B Problema 25

Question

Se eligen al azar e independientemente tres puntos en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres distancias por pares entre los puntos sean menores que el radio del círculo?

Three points are chosen randomly and independently on a circle. What is the probability that all three pairwise distances between the points are less than the radius of the circle?

\dfrac{1}{36}

\dfrac{1}{24}

\dfrac{1}{18}

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{9}

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica arco cuerda

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Una cuerda es más corta que el radio exactamente cuando su arco mide menos de

60^\circ

A chord is shorter than the radius exactly when its arc measures less than

60^\circ

Pista grande:

Las tres cuerdas por pares son cortas precisamente cuando los tres puntos están dentro de algún arco de

60^\circ

All three pairwise chords are short precisely when the three points lie within some

60^\circ

arc

Solución:

Una cuerda tiene longitud menor que el radio exactamente cuando el arco que subtiende es menor que

60^\circ,

ya que la cuerda de un arco de

60^\circ

es igual al radio.

Las tres cuerdas por pares son más cortas que el radio precisamente cuando los tres puntos están todos dentro de algún arco de

60^\circ.

En cualquier configuración exitosa, exactamente uno de los tres puntos es el extremo en sentido antihorario de uno de esos arcos que los contienen (salvo casos frontera de probabilidad cero). Ese extremo se puede elegir de

3

maneras, y cada uno de los otros dos puntos tiene, de forma independiente, probabilidad

\dfrac{1}{6}

de caer en los siguientes

60^\circ.

Por lo tanto, la probabilidad es

3\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{12}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A chord has length less than the radius exactly when the arc it subtends is less than

60^\circ,

since a chord of a

60^\circ

arc equals the radius.

All three pairwise chords are shorter than the radius precisely when the three points all lie within some arc of

60^\circ.

For any successful configuration, exactly one of the three points is the counterclockwise endpoint of such a containing arc (apart from probability-zero boundary cases). Choose that endpoint in

3

ways; each of the other two points independently has probability

\dfrac{1}{6}

of lying in the next

60^\circ.

Hence the probability is

3\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{12}.

Thus, the correct answer is D.