2003 AMC 12A Problema 13

Question

El polígono encerrado por las líneas continuas de la figura consta de

4

cuadrados congruentes unidos lado con lado. Se une otro cuadrado congruente a una arista en una de las nueve posiciones indicadas. ¿Cuántos de los nueve polígonos resultantes se pueden doblar para formar un cubo al que le falta una cara?

The polygon enclosed by the solid lines in the figure consists of

4

congruent squares joined edge-to-edge. One more congruent square is attached to an edge at one of the nine positions indicated. How many of the nine resulting polygons can be folded to form a cube with one face missing?

2

3

4

5

6

Respuesta: E

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Un cubo al que le falta una cara necesita

5

cuadrados.

A cube with one face missing needs

5

squares

Pista grande:

Dobla la pieza de cuatro cuadrados parcialmente alrededor de un cubo, y luego verifica cuál cuadrado añadido cae sobre una cara que aún está abierta.

Fold the four-square piece partway around a cube, then check which attached square lands on a still-open face

Solución:

Un cubo al que le falta una cara tiene

5

caras, así que el quinto cuadrado debe plegarse sobre una cara que la pieza de cuatro cuadrados aún no ocupa. Siguiendo la cara alcanzada por cada unión, las posiciones

1,

2,

y

3

se pliegan sobre una cara ya ocupada y se superponen. Cada una de las posiciones

4,

5,

6,

7,

8,

y

9

se pliega sobre una cara libre. Por tanto, funcionan

6

de las nueve posiciones.

Así, la respuesta correcta es E.

A cube missing one face has

5

faces, so the fifth square must fold onto a face not already occupied by the four-square piece. Tracing the face reached by each attachment, positions

1,

2,

and

3

fold onto a face already occupied and overlap it. Each of positions

4,

5,

6,

7,

8,

and

9

folds onto an unoccupied face. Therefore

6

of the nine positions work.

Thus, the correct answer is E.