2002 AMC 12B Problema 23

Question

En

\triangle ABC,

tenemos

AB=1

y

AC=2.

El lado

BC

y la mediana desde

A

hacia

BC

tienen la misma longitud. ¿Cuánto vale

BC

?

In

\triangle ABC,

we have

AB=1

and

AC=2.

Side

BC

and the median from

A

to

BC

have the same length. What is

BC?

\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}

\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}

\sqrt{2}

\dfrac{3}{2}

\sqrt{3}

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Sea

M

el punto medio de

BC,

AM=2a,

y

\theta=\angle AMB

.

Let

M

be the midpoint of

BC,

AM=2a,

and

\theta=\angle AMB

Pista grande:

Aplica la ley de los cosenos a

\triangle ABM

y

\triangle AMC

(ángulos

\theta

y

180^\circ-\theta

) y suma.

Apply the Law of Cosines to

\triangle ABM

and

\triangle AMC

(angles

\theta

and

180^\circ-\theta

) and add

Solución:

Sea

M

el punto medio de

BC,

pon

AM=2a,

y sea

\theta=\angle AMB,

de modo que

\angle AMC=180^\circ-\theta.

Con

BM=CM=a,

de manera que

BC=2a,

la ley de los cosenos en

\triangle ABM

y

\triangle AMC

da

a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,

a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.

Al sumar,

10a^2=5,

así que

a=\dfrac{\sqrt2}{2}

y

BC=2a=\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

M

be the midpoint of

BC,

set

AM=2a,

and let

\theta=\angle AMB,

so

\angle AMC=180^\circ-\theta.

With

BM=CM=a,

so that

BC=2a,

the Law of Cosines in

\triangle ABM

and

\triangle AMC

gives

a^2+4a^2-4a^2\cos\theta=1,

a^2+4a^2+4a^2\cos\theta=4.

Adding,

10a^2=5,

so

a=\dfrac{\sqrt2}{2}

and

BC=2a=\sqrt2.

Thus, the correct answer is C.