2002 AMC 12A Problema 13

Question

Dos números positivos distintos

a

y

b

difieren cada uno de su recíproco en

1.

¿Cuánto vale

a + b

?

Two different positive numbers

a

and

b

each differ from their reciprocals by

1.

What is

a + b?

1

2

\sqrt{5}

\sqrt{6}

3

Respuesta: C

Conceptos:ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Un número

x

con

\left|x - \dfrac1x\right| = 1

satisface

x^2 - x - 1 = 0

o

x^2 + x - 1 = 0

.

A number

x

with

\left|x - \dfrac1x\right| = 1

satisfies

x^2 - x - 1 = 0

or

x^2 + x - 1 = 0

Pista grande:

Las dos soluciones positivas son recíprocas entre sí; súmelas usando la fórmula cuadrática.

The two positive solutions are reciprocals of each other; add them using the quadratic formula

Solución:

Un número positivo

x

difiere de su recíproco en

1

cuando

x - \dfrac1x = 1

o

x - \dfrac1x = -1,

es decir

x^2 - x - 1 = 0

o

x^2 + x - 1 = 0.

Las raíces positivas son

\dfrac{1+\sqrt5}{2}

y

\dfrac{-1+\sqrt5}{2},

que son recíprocas entre sí. Su suma es

a + b = \sqrt5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A positive number

x

differs from its reciprocal by

1

when

x - \dfrac1x = 1

or

x - \dfrac1x = -1,

i.e.

x^2 - x - 1 = 0

or

x^2 + x - 1 = 0.

The positive roots are

\dfrac{1+\sqrt5}{2}

and

\dfrac{-1+\sqrt5}{2},

which are reciprocals of each other. Their sum is

a + b = \sqrt5.

Thus, the correct answer is C.