2001 AMC 12 Problema 18

Question

Un círculo centrado en

A

con radio

1

y un círculo centrado en

B

con radio

4

son tangentes exteriormente. Un tercer círculo es tangente a los dos primeros y a una de sus tangentes exteriores comunes, como se muestra. El radio del tercer círculo es

A circle centered at

A

with a radius of

1

and a circle centered at

B

with a radius of

4

are externally tangent. A third circle is tangent to the first two and to one of their common external tangents as shown. The radius of the third circle is

\dfrac{1}{3}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{5}{12}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{1}{2}

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Para dos círculos de radios

r

y

s

ambos tangentes a una recta y entre sí, sus puntos de contacto sobre la recta están a

2\sqrt{rs}

de distancia

For two circles of radii

r

and

s

both tangent to a line and to each other, their contact points on the line are

2\sqrt{rs}

apart

Pista grande:

El punto de contacto del círculo pequeño divide el segmento:

2\sqrt{x} + 2\sqrt{4x} = 2\sqrt{4}

The contact point of the small circle splits the segment:

2\sqrt{x} + 2\sqrt{4x} = 2\sqrt{4}

Solución:

Cuando dos círculos mutuamente tangentes de radios

r

y

s

descansan sobre una recta, la distancia entre sus puntos de tangencia es

2\sqrt{rs}.

Los puntos de contacto de los círculos grandes están a

2\sqrt{1 \cdot 4} = 4

de distancia. Colocando el círculo pequeño de radio

x

entre ellos, sus dos distancias de tangencia se suman:

2\sqrt{1 \cdot x} + 2\sqrt{4 \cdot x} = 4.

Entonces

6\sqrt{x} = 4,

así que

\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}

y

x = \dfrac{4}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When two mutually tangent circles of radii

r

and

s

both rest on a line, the distance between their points of tangency is

2\sqrt{rs}.

The big circles’ contact points are

2\sqrt{1 \cdot 4} = 4

apart. Placing the small circle of radius

x

between them, its two tangent distances add up:

2\sqrt{1 \cdot x} + 2\sqrt{4 \cdot x} = 4.

Then

6\sqrt{x} = 4,

so

\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}

and

x = \dfrac{4}{9}.

Thus, the correct answer is D.