1993 AMC 12 Problema 25

Question

Sea

S

el conjunto de puntos sobre los rayos que forman los lados de un ángulo de

120^\circ

, y sea

P

un punto fijo dentro del ángulo y sobre su bisectriz. Considera todos los triángulos equiláteros distintos

PQR

con

Q

y

R

en

S.

(Los puntos

Q

y

R

pueden estar sobre el mismo rayo, e intercambiar los nombres de

Q

y

R

no crea un triángulo distinto.) Hay

Let

S

be the set of points on the rays forming the sides of a

120^\circ

angle, and let

P

be a fixed point inside the angle on the angle bisector. Consider all distinct equilateral triangles

PQR

with

Q

and

R

in

S.

(Points

Q

and

R

may be on the same ray, and switching the names of

Q

and

R

does not create a distinct triangle.) There are

exactamente

2

de estos triángulos.

exactly

2

such triangles.

exactamente

3

de estos triángulos.

exactly

3

such triangles.

exactamente

7

de estos triángulos.

exactly

7

such triangles.

exactamente

15

de estos triángulos.

exactly

15

such triangles.

más de

15

de estos triángulos.

more than

15

such triangles.

Respuesta: E

Conceptos:equilateral triangles congruence infinite family

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Llama

O

al vértice del ángulo y elige

A

sobre un rayo de modo que

\triangle AOP

sea equilátero

Call the angle’s vertex

O

and choose

A

on one ray so that

\triangle AOP

is equilateral

Pista grande:

Varía continuamente un punto

Q

sobre

\overline{AO}

y construye el punto correspondiente

R

sobre el otro rayo

Vary a point

Q

continuously on

\overline{AO}

and construct a matching point

R

on the other ray

Solución:

Sea

O

el vértice. Elige

A

sobre un rayo de modo que

OA=OP;

como

OP

biseca el ángulo de

120^\circ

,

\triangle AOP

es equilátero. Para cualquier

Q

en

\overline{AO},

elige

R

en el otro rayo de modo que

OR=AQ.

Entonces

\triangle POR\cong\triangle PAQ

por LAL. Por consiguiente,

PQ=PR

y

\angle QPR=\angle APO=60^\circ,

de modo que

\triangle PQR

es equilátero. Un continuo de elecciones de

Q

produce triángulos distintos, así que ciertamente hay más de

15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

O

be the vertex. Choose

A

on one ray so that

OA=OP;

because

OP

bisects the

120^\circ

angle,

\triangle AOP

is equilateral. For any

Q

on

\overline{AO},

choose

R

on the other ray with

OR=AQ.

Then

\triangle POR\cong\triangle PAQ

by SAS. Consequently

PQ=PR

and

\angle QPR=\angle APO=60^\circ,

so

\triangle PQR

is equilateral. Continuously many choices of

Q

give distinct triangles, hence certainly more than

15.

Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años