Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1992 AMC 12 Problema 13

Intenta el Problema 13 del 1992 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1992 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

¿Cuántos pares de enteros positivos (a,b)(a,b) con a+b≤100a+b\le100 satisfacen la ecuación a+b−1a−1+b=13? \frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?
How many pairs of positive integers (a,b)(a,b) with a+b≤100a+b\le100 satisfy the equation a+b−1a−1+b=13? \frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?
11
55
77
99
1313
Respuesta: C
Conceptos:rational expressionpositive integer solutionsdivisibilidad
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Multiplica el numerador y el denominador por abab
Multiply the numerator and denominator by abab
Pista grande:
Después de simplificar, expresa aa como múltiplo de bb y aplica la cota sobre a+ba+b
After simplifying, write aa as a multiple of bb and apply the bound on a+ba+b
Solución:
Al multiplicar el numerador y el denominador por abab se obtiene a2b+ab+ab2=a(ab+1)b(ab+1)=ab. \frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab. Por tanto, a=13b.a=13b. La condición a+b≤100a+b\le100 se convierte en 14b≤100,14b\le100, así que bb puede ser cualquier entero de 11 a 7.7. Hay 77 pares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Multiplying the numerator and denominator by abab gives a2b+ab+ab2=a(ab+1)b(ab+1)=ab. \frac{a^2b+a}{b+ab^2} =\frac{a(ab+1)}{b(ab+1)} =\frac ab. Thus a=13b.a=13b. The condition a+b≤100a+b\le100 becomes 14b≤100,14b\le100, so bb may be any integer from 11 through 7.7. There are 77 pairs.
Thus the correct answer is C.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B