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1975 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1975 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1975 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Si a≠b,a\ne b, a3−b3=19x3,a^3-b^3=19x^3, y a−b=x,a-b=x, ¿cuál de las siguientes conclusiones es correcta?
If a≠b,a\ne b, a3−b3=19x3,a^3-b^3=19x^3, and a−b=x,a-b=x, which of the following conclusions is correct?
a=3xa=3x
a=3xa=3x o a=−2xa=-2x
a=3xa=3x or a=−2xa=-2x
a=−3xa=-3x o a=2xa=2x
a=−3xa=-3x or a=2xa=2x
a=3xa=3x o a=2xa=2x
a=3xa=3x or a=2xa=2x
a=2xa=2x
Respuesta: B
Conceptos:suma y diferencia de cubosfactorizacióncuadrática
Nivel de dificultad: 1620
Pista pequeña:
Factoriza a3−b3a^3-b^3 y usa x=a−b≠0x=a-b\ne0
Factor a3−b3a^3-b^3 and use x=a−b≠0x=a-b\ne0
Pista grande:
Sustituye b=a−xb=a-x después de dividir entre xx
Substitute b=a−xb=a-x after dividing by xx
Solución:
Al factorizar y dividir entre x≠0x\ne0 se obtiene a2+ab+b2=19x2.a^2+ab+b^2=19x^2. Con b=a−x,b=a-x, 3a2−3ax+x2=19x2, 3a^2-3ax+x^2=19x^2, por lo que a2−ax−6x2=0,(a−3x)(a+2x)=0. \begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned} Por tanto, a=3xa=3x o a=−2x.a=-2x.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Factoring and dividing by x≠0x\ne0 gives a2+ab+b2=19x2.a^2+ab+b^2=19x^2. With b=a−x,b=a-x, 3a2−3ax+x2=19x2, 3a^2-3ax+x^2=19x^2, so a2−ax−6x2=0,(a−3x)(a+2x)=0. \begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned} Hence a=3xa=3x or a=−2x.a=-2x.
Therefore, the correct answer is B.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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