2025 AMC 12A 第 17 题

Question

多项式

(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10

在复平面中有三个根，其中

i = \sqrt{-1}

。这些根所形成的三角形面积是多少？

The polynomial

(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10

has three roots in the complex plane, where

i = \sqrt{-1}.

What is the area of the triangle formed by these roots?

6

8

10

12

14

答案：A

知识点：复数多项式三角形面积

难度评级：1930

小提示：

平移到重心：令

z = u - 2i

，使根以原点为中心

Shift by the centroid: let

z = u - 2i

to center the roots at the origin

大提示：

多项式变为

u^3 + u + 10

= (u + 2)(u^2 - 2u + 5)

The polynomial becomes

u^3 + u + 10

= (u + 2)(u^2 - 2u + 5)

解答：

根的和为

-6i

，所以重心为

-2i

。代入

z = u - 2i

，得

\begin{gathered} (u - i)(u)(u + i) + 10 \\ = u(u^2 + 1) + 10 \\ = u^3 + u + 10 \end{gathered}\text{。}

因为

u = -2

是一个根，

u^3 + u + 10

= (u + 2)(u^2 - 2u + 5)

，所以根为

u = -2

和

u = 1 \pm 2i

。

这些点是

(-2, 0)

、

(1, 2)

、

(1, -2)

。

(1, 2)

与

(1, -2)

之间的底边长为

4

，到

(-2, 0)

的水平距离为

3

，所以面积为

\dfrac{1}{2}(4)(3) = 6

。平移不改变面积。

因此，正确答案是 A。

The sum of the roots is

-6i,

so the centroid is

-2i.

Substituting

z = u - 2i,

\begin{gathered} (u - i)(u)(u + i) + 10 \\ = u(u^2 + 1) + 10 \\ = u^3 + u + 10. \end{gathered}

Since

u = -2

is a root,

u^3 + u + 10

= (u + 2)(u^2 - 2u + 5),

giving roots

u = -2

and

u = 1 \pm 2i.

These are the points

(-2, 0),

(1, 2),

(1, -2).

The base between

(1, 2)

and

(1, -2)

has length

4,

at horizontal distance

3

from

(-2, 0),

so the area is

\dfrac{1}{2}(4)(3) = 6.

Translation does not change the area.

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A 第 17 题

答案：A

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

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