2024 AMC 12B 第 17 题

Question

从绝对值不超过

10

的整数集合中，不放回地随机选取整数

a

、

b

。多项式

x^3 + ax^2 + bx + 6

有

3

个不同整数根的概率是多少？

Integers

a

and

b

are randomly chosen without replacement from the set of integers with absolute value not exceeding

10.

What is the probability that the polynomial

x^3 + ax^2 + bx + 6

has

3

distinct integer roots?

\dfrac{1}{240}

\dfrac{1}{221}

\dfrac{1}{105}

\dfrac{1}{84}

\dfrac{1}{63}

答案：C

知识点：韦达定理基本概率分类讨论

难度评级：1910

小提示：

若根为不同整数

p, q, r

，则

pqr = -6

、

a = -(p+q+r)

、

b = pq + qr + rp

。

If the roots are distinct integers

p, q, r,

then

pqr = -6,

a = -(p+q+r),

and

b = pq + qr + rp

大提示：

列出把

-6

写成三个不同整数乘积的方式，去掉导致

|a|\gt 10

或

|b| \gt 10

的情形，再除以

21 \cdot 20

个有序选择。

List the ways to write

-6

as a product of three distinct integers, discard any giving

|a|\gt 10

or

|b| \gt 10,

and divide by

21 \cdot 20

ordered choices

解答：

集合中有

21

个整数，所以有

21 \cdot 20 = 420

个有序选择

(a, b)

。若多项式有不同整数根

p, q, r

，则

pqr = -6

，

a = -(p + q + r)

，

b = pq + qr + rp

。

乘积为

-6

的不同整数根三元组为

\{1, 2, -3\}

，

\{1, -2, 3\}

，

\{-1, 2, 3\}

，

\{-1, -2, -3\}

，以及

\{1, -1, 6\}

。它们给出

(a, b) = (0, -7)

，

(-2, -5)

，

(-4, 1)

，

(6, 11)

，和

(-6, -1)

。第四组有

b = 11 \gt 10

，无效；其余四组有效且互不相同。

所求概率为

\dfrac{4}{420} = \dfrac{1}{105}

。

所以正确答案是 C。

The set has

21

integers, so there are

21 \cdot 20 = 420

ordered choices of

(a, b).

If the polynomial has distinct integer roots

p, q, r,

then

pqr = -6,

a = -(p + q + r),

and

b = pq + qr + rp.

The triples of distinct integers with product

-6

are

\{1, 2, -3\},

\{1, -2, 3\},

\{-1, 2, 3\},

\{-1, -2, -3\},

and

\{1, -1, 6\}.

These give

(a, b) = (0, -7),

(-2, -5),

(-4, 1),

(6, 11),

and

(-6, -1).

The fourth has

b = 11 \gt 10,

so it is invalid; the other four are valid and distinct.

The probability is

\dfrac{4}{420} = \dfrac{1}{105}.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 17 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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