Question

梯形 $ABCD$ 满足 $AB \parallel CD$ 、 $BC = CD = 43$ ，且 $AD \perp BD$ 。设 $O$ 为对角线 $AC$ 和 $BD$ 的交点， $P$ 为 $BD$ 的中点。已知 $OP = 11$ ，长度 $AD$ 可写成 $m\sqrt n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。

Trapezoid $ABCD$ has $AB \parallel CD,$ $BC = CD = 43,$ and $AD \perp BD.$ Let $O$ be the intersection of the diagonals $AC$ and $BD,$ and let $P$ be the midpoint of $BD.$ Given that $OP = 11,$ the length $AD$ can be written in the form $m\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n?$

$65$

$132$

$157$

$194$

$215$

答案：D

知识点：坐标几何梯形相似

难度评级：2080

解答：

令 $D = (0,0)$ ， $B = (b, 0)$ 在一条轴上， $A = (0, a)$ 在另一条轴上，使 $AD \perp BD$ 。因为 $CD \parallel AB$ ，可写成 $C = t(b, -a)$ ，其中 $t$ 为某个实数。于是 $CD = t\sqrt{a^2+b^2}$ ，且 $BC^2 = b^2(1-t)^2 + t^2a^2$ 。由 $BC = CD$ 得 $t^2 = (1-t)^2$ ，所以 $t = \tfrac12$ 。

因此 $C = \left(\tfrac{b}{2}, -\tfrac{a}{2}\right)$ ，且 $CD = 43$ 给出 $a^2 + b^2 = 4\cdot 43^2 = 7396$ 。对角线 $AC$ 与 $BD$ （ $x$ -轴）交于 $O = \left(\tfrac{b}{3}, 0\right)$ ，而 $P = \left(\tfrac{b}{2}, 0\right)$ 。因此 $OP = \tfrac{b}{6} = 11$ ，所以 $b = 66$ 。

那么 $a^2 = 7396 - 66^2 = 3040$ ，所以 $AD = a = \sqrt{3040} = 4\sqrt{190}$ 。取 $m = 4$ 、 $n = 190$ ，得 $m + n = 194$ 。

因此，正确答案是 D。

Place $D = (0,0)$ with $B = (b, 0)$ on one axis and $A = (0, a)$ on the other, so that $AD \perp BD.$ Since $CD \parallel AB,$ write $C = t(b, -a)$ for some $t.$ Then $CD = t\sqrt{a^2+b^2}$ and $BC^2 = b^2(1-t)^2 + t^2a^2.$ Setting $BC = CD$ gives $t^2 = (1-t)^2,$ so $t = \tfrac12.$

Thus $C = \left(\tfrac{b}{2}, -\tfrac{a}{2}\right),$ and $CD = 43$ gives $a^2 + b^2 = 4\cdot 43^2 = 7396.$ The diagonal $AC$ meets $BD$ (the $x$ -axis) at $O = \left(\tfrac{b}{3}, 0\right),$ while $P = \left(\tfrac{b}{2}, 0\right).$ Hence $OP = \tfrac{b}{6} = 11,$ so $b = 66.$

Then $a^2 = 7396 - 66^2 = 3040,$ so $AD = a = \sqrt{3040} = 4\sqrt{190}.$ With $m = 4$ and $n = 190,$ we get $m + n = 194.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring 第 17 题

答案：D

难度评级：2080

解答：

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