2016 AMC 12A 第 17 题

Question

设

ABCD

是正方形。令

E

、

F

、

G

、

H

分别为以

\overline{AB}

、

\overline{BC}

、

\overline{CD}

、

\overline{DA}

为底、且在正方形外侧的等边三角形的中心。正方形

EFGH

的面积与正方形

ABCD

的面积之比是多少？

Let

ABCD

be a square. Let

E,

F,

G,

and

H

be the centers, respectively, of equilateral triangles with bases

\overline{AB},

\overline{BC},

\overline{CD},

and

\overline{DA},

each exterior to the square. What is the ratio of the area of square

EFGH

to the area of square

ABCD?

1

\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}

\sqrt{2}

\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}

\sqrt{3}

答案：B

知识点：等边三角形重心面积比

难度评级：1800

小提示：

等边三角形的中心距底边为其高的

\frac13

。

The center of an equilateral triangle lies

\frac13

of its height from the base

大提示：

比较两个正方形的对角线；面积比是长度比的平方。

Compare diagonals of the two squares; the area ratio is the square of the length ratio

解答：

设正方形

ABCD

的边长为

6

。每个等边三角形的高为

3\sqrt3

，其中心到正方形相应边的距离是该高的

\frac13

，即

\sqrt3

。

正方形

ABCD

的对角线长为

6\sqrt2

。正方形

EFGH

的对角线等于

ABCD

的边长加上两段长为

\sqrt3

的距离，即

6+2\sqrt3

。面积比等于对角线长度之比的平方：

\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3} \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 B。

Let square

ABCD

have side length

6.

Each equilateral triangle has height

3\sqrt3,

and its center lies

\frac13

of that height, namely

\sqrt3,

from the square’s side.

Square

ABCD

has diagonal

6\sqrt2.

Square

EFGH

has diagonal equal to the side of

ABCD

plus twice

\sqrt3,

namely

6+2\sqrt3.

The area ratio is the square of the ratio of diagonals:

\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A 第 17 题

答案：B

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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