Question

设 $ABCD$ 是正方形。令 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为以 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CD}$ 、 $\overline{DA}$ 为底、且在正方形外侧的等边三角形的中心。正方形 $EFGH$ 的面积与正方形 $ABCD$ 的面积之比是多少？

Let $ABCD$ be a square. Let $E,$ $F,$ $G,$ and $H$ be the centers, respectively, of equilateral triangles with bases $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA},$ each exterior to the square. What is the ratio of the area of square $EFGH$ to the area of square $ABCD?$

$1$

$\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3}$

答案：B

知识点：等边三角形重心面积比

难度评级：1800

解答：

设正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$ 每个等边三角形的高为 $3\sqrt3$ 其中心到正方形相应边的距离为高的 $\frac13$ ，即 $\sqrt3$ ，

正方形 $ABCD$ 的对角线长为 $6\sqrt2$ 正方形 $EFGH$ 的对角线等于 $ABCD$ 的边长加上两段长为 $\sqrt3$ 的距离，即 $6+2\sqrt3$ 面积比等于对角线长度之比的平方： $\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

所以正确答案是 B。

Let square $ABCD$ have side length $6.$ Each equilateral triangle has height $3\sqrt3,$ and its center lies $\frac13$ of that height, namely $\sqrt3,$ from the square's side.

Square $ABCD$ has diagonal $6\sqrt2.$ Square $EFGH$ has diagonal equal to the side of $ABCD$ plus twice $\sqrt3,$ namely $6+2\sqrt3.$ The area ratio is the square of the ratio of diagonals: $\begin{gathered} \left(\dfrac{6+2\sqrt3}{6\sqrt2}\right)^2\\ =\left(\dfrac{3+\sqrt3}{3\sqrt2}\right)^2\\ =\dfrac{12+6\sqrt3}{18}\\ =\dfrac{2+\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A 第 17 题

答案：B

难度评级：1800

解答：

其他年份的第 17 题