2010 AMC 12B 第 17 题

Question

一个

3\times3

数组中的项包含数字

1

到

9

，各一次，并且每一行和每一列中的项都按递增顺序排列。这样的数组有多少个？

The entries in a

3\times3

array include all the digits from

1

through

9,

arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

18

24

36

42

60

答案：D

知识点：有限制的排列分类讨论

难度评级：1980

小提示：

左上角项被迫为

1

，右下角项被迫为

9

The top-left entry is forced to be

1

and the bottom-right to be

9

大提示：

按中心项分类；中心项必须是

4, 5

，或

6

Split into cases by the center entry, which must be

4, 5,

or

6

解答：

记第

i

行第

j

列的项为

a_{ij}

。题设条件迫使

a_{11}=1

、

a_{33}=9

，且

a_{22}\in\{4,5,6\}

。

如果

a_{22}=4

则

\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}

而

\{5,6,7,8\}

被分成互补的两对，填入最后一行和最后一列剩下的位置：分法有

\binom42=6

种，再乘

\{2,3\}

的

2

种顺序，得到

12

个数组。由对称性，

a_{22}=6

也给出

12

个。

如果

a_{22}=5

则

\{a_{12},a_{13},a_{23}\}

和

\{a_{21},a_{31},a_{32}\}

是

\{2,3,4,6,7,8\}

的互补子集，并受递增顺序限制；第一组可以是任意三元子集，只要它不是

\{2,3,4\}

或

\{6,7,8\}

，因此有

\binom63-2=18

个数组。

总共有

12+12+18=42

。

因此，正确答案是 D。

Write

a_{ij}

for the entry in row

i,

column

j.

The conditions force

a_{11}=1,

a_{33}=9,

and

a_{22}\in\{4,5,6\}.

If

a_{22}=4,

then

\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}

and

\{5,6,7,8\}

split as complementary pairs filling the rest of the last row and column:

\binom42=6

splits times

2

orders for

\{2,3\}

gives

12

arrays. By symmetry

a_{22}=6

also gives

12.

If

a_{22}=5,

then

\{a_{12},a_{13},a_{23}\}

and

\{a_{21},a_{31},a_{32}\}

are complementary subsets of

\{2,3,4,6,7,8\}

subject to the ordering constraints. The first set can be any three-element subset except

\{2,3,4\}

or

\{6,7,8\},

giving

\binom63-2=18

arrays.

Altogether

12+12+18=42.

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B 第 17 题

答案：D

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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