Question

$a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ 和 $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ 是两个不同的、项都为正的无穷等比级数，且首项相同。第一个级数的和是 $r_1$ ，第二个级数的和是 $r_2$ 。求 $r_1 + r_2$ ？

Let $a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ and $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ be two different infinite geometric series of positive numbers with the same first term. The sum of the first series is $r_1,$ and the sum of the second series is $r_2.$ What is $r_1 + r_2?$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$2$

答案：C

知识点：等比数列韦达定理

难度评级：2040

解答：

对首项为 $a$ 、公比为 $r$ 的级数，其和为 $\dfrac{a}{1 - r} = r$ ，所以 $r^2 - r + a = 0$ 。

$r_1$ 和 $r_2$ 都满足同一个二次方程，并且因为两个级数不同， $r_1 \ne r_2$ ，所以它们是该方程的两个不同根。由韦达定理， $r_1 + r_2 = 1$ 。

因此，正确答案是 C。

For a series with first term $a$ and ratio $r,$ the sum is $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ so $r^2 - r + a = 0.$

Both $r_1$ and $r_2$ satisfy this same quadratic, and since the two series are different, $r_1 \ne r_2,$ so they are its two distinct roots. By Vieta's formulas, $r_1 + r_2 = 1.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12A 第 17 题

答案：C

难度评级：2040

解答：

其他年份的第 17 题