2009 AMC 12A 第 17 题

Question

a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots

和

a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots

是两个不同的、项都为正的无穷等比级数，且首项相同。第一个级数的和是

r_1

，第二个级数的和是

r_2

。求

r_1 + r_2

？

Let

a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots

and

a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots

be two different infinite geometric series of positive numbers with the same first term. The sum of the first series is

r_1,

and the sum of the second series is

r_2.

What is

r_1 + r_2?

0

\dfrac{1}{2}

1

\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}

2

答案：C

知识点：等比数列韦达定理

难度评级：2040

小提示：

首项为

a

、公比为

r

的无穷等比级数的和是

\dfrac{a}{1 - r}

。

The sum of an infinite geometric series with first term

a

and ratio

r

is

\dfrac{a}{1 - r}

大提示：

每个公比都满足

\dfrac{a}{1 - r} = r

，即

r^2 - r + a = 0

；对两个根使用韦达定理。

Each ratio satisfies

\dfrac{a}{1 - r} = r,

that is

r^2 - r + a = 0;

use Vieta on the two roots

解答：

对首项为

a

、公比为

r

的级数，其和为

\dfrac{a}{1 - r} = r

，所以

r^2 - r + a = 0

。

r_1

和

r_2

都满足同一个二次方程，并且因为两个级数不同，

r_1 \ne r_2

，所以它们是该方程的两个不同根。由韦达定理，

r_1 + r_2 = 1

。

因此，正确答案是 C。

For a series with first term

a

and ratio

r,

the sum is

\dfrac{a}{1 - r} = r,

so

r^2 - r + a = 0.

Both

r_1

and

r_2

satisfy this same quadratic, and since the two series are different,

r_1 \ne r_2,

so they are its two distinct roots. By Vieta’s formulas,

r_1 + r_2 = 1.

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12A 第 17 题

答案：C

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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