2008 AMC 12B 第 17 题

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17.

设

A

、

B

、

C

是抛物线

y = x^2

上三个不同的点，其中直线

AB

平行于

x

轴，且

\triangle ABC

是面积为

2008

的直角三角形。点

C

的

y

坐标的各位数字之和是多少？

Let

A,

B

and

C

be three distinct points on the graph of

y = x^2

such that line

AB

is parallel to the

x

-axis and

\triangle ABC

is a right triangle with area

2008.

What is the sum of the digits of the

y

-coordinate of

C?

16

17

18

19

20

答案：C

知识点：抛物线斜率三角形面积数字

难度评级：1800

小提示：

写

A = (a, a^2)

和

B = (-a, a^2)

；由于

A, B, C

的

x

坐标不同，直角在

C

处。

Write

A = (a, a^2)

and

B = (-a, a^2);

since

A, B, C

have distinct

x

-coordinates, the right angle is at

C

大提示：

垂直边

CA

和

CB

强制

a^2 - c^2 = 1

，这也是到

\overline{AB}

的高；由面积求

|a|

，再求

c^2

。

Perpendicular legs

CA

and

CB

force

a^2 - c^2 = 1,

the height above

\overline{AB};

get

|a|

from the area, then

c^2

解答：

因为

AB

水平，取

A = (a, a^2)

、

B = (-a, a^2)

，并设

C = (c, c^2)

。直角不可能在

A

或

B

处（否则需要

c = \pm a

），所以直角在

C

处。

令

d = a^2-c^2

。计算

\overrightarrow{CA}

与

\overrightarrow{CB}

的点积，得到

d(d-1)=0

。三点互异，所以

d \ne 0

；因此

a^2-c^2=1

。这个值就是三角形相对于

\overline{AB}

的高。

面积为

\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{高}

= \tfrac12 (2|a|)(1)

= |a| = 2008

，所以

a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064

，而

C

的

y

坐标为

c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063

。

它的数位和为

4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18

。

所以正确答案是 C。

Since

AB

is horizontal, take

A = (a, a^2)

and

B = (-a, a^2),

and let

C = (c, c^2).

The right angle cannot be at

A

or

B

(that would need

c = \pm a

), so it is at

C.

Put

d = a^2-c^2.

Taking the dot product of

\overrightarrow{CA}

and

\overrightarrow{CB}

gives

d(d-1)=0.

The points are distinct, so

d \ne 0;

hence

a^2-c^2=1.

This value is the height of the triangle above

\overline{AB}.

The area is

\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}

= \tfrac12 (2|a|)(1)

= |a| = 2008,

so

a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064

and the

y

-coordinate of

C

is

c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.

Its digit sum is

4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.

Thus, the correct answer is C.

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