Question

设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是抛物线 $y = x^2$ 上三个不同的点，其中直线 $AB$ 平行于 $x$ 轴，且 $\triangle ABC$ 是面积为 $2008$ 的直角三角形。点 $C$ 的 $y$ 坐标的各位数字之和是多少？

Let $A,$ $B$ and $C$ be three distinct points on the graph of $y = x^2$ such that line $AB$ is parallel to the $x$ -axis and $\triangle ABC$ is a right triangle with area $2008.$ What is the sum of the digits of the $y$ -coordinate of $C?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

答案：C

知识点：抛物线斜率三角形面积数字

难度评级：1800

解答：

因为 $AB$ 水平，取 $A = (a, a^2)$ 、 $B = (-a, a^2),$ 并设 $C = (c, c^2).$ 直角不可能在 $A$ 或 $B$ 处（否则需要 $c = \pm a$ ），所以直角在 $C.$ 处。

令 $d = a^2-c^2.$ 计算 $\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{CB}$ 的点积，得到 $d(d-1)=0.$ 三点互异，所以 $d \ne 0;$ 因此 $a^2-c^2=1.$ 这个值就是三角形相对于 $\overline{AB}.$ 的高。

面积为 $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ 所以 $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ ，而 $C$ 的 $y$ 坐标为 $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

它的数位和为 $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

所以正确答案是 C。

Since $AB$ is horizontal, take $A = (a, a^2)$ and $B = (-a, a^2),$ and let $C = (c, c^2).$ The right angle cannot be at $A$ or $B$ (that would need $c = \pm a$ ), so it is at $C.$

Put $d = a^2-c^2.$ Taking the dot product of $\overrightarrow{CA}$ and $\overrightarrow{CB}$ gives $d(d-1)=0.$ The points are distinct, so $d \ne 0;$ hence $a^2-c^2=1.$ This value is the height of the triangle above $\overline{AB}.$

The area is $\tfrac12 \cdot AB \cdot \text{height}$ $= \tfrac12 (2|a|)(1)$ $= |a| = 2008,$ so $a^2 = 2008^2 = 4{,}032{,}064$ and the $y$ -coordinate of $C$ is $c^2 = a^2 - 1 = 4{,}032{,}063.$

Its digit sum is $4 + 0 + 3 + 2 + 0 + 6 + 3 = 18.$

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 12B 第 17 题

答案：C

难度评级：1800

解答：

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