2007 AMC 12B 第 17 题

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17.

若

a

是非零整数，

b

是正数，且

ab^2=\log_{10}b

则集合

\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}

的中位数是什么？

If

a

is a nonzero integer and

b

is a positive number such that

ab^2=\log_{10}b,

what is the median of the set

\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}?

0

1

a

b

\dfrac{1}{b}

答案：D

知识点：对数不等式中位数（数据）

难度评级：2060

小提示：

对所有

b\gt0

有

b\lt10^b

，所以

\log_{10}b\lt b

。

Since

b\lt10^b

for all

b\gt0,

we have

\log_{10}b\lt b

大提示：

若

b\ge1

，检查

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}

是否可能为非零整数。

Rule out

b\ge1

by checking whether

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}

can be a nonzero integer

解答：

对所有

b\gt0

都有

b\lt10^b

，所以

\log_{10}b\lt b

。若

b=1

，则

a=0

，不符合条件。若

b\gt1

，则

0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1

，因此

a

不可能是非零整数。

所以

0\lt b\lt1

，从而

\log_{10}b\lt0

，且

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0

。排序为

a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b

，所以中位数是

b

。

所以正确答案是 D。

For

b\gt0,

we have

b\lt10^b,

hence

\log_{10}b\lt b.

If

b=1,

then

a=0.

If

b\gt1,

then

0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1,

so

a

could not be an integer.

Hence

0\lt b\lt1,

so

\log_{10}b\lt0

and

a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0.

Thus

a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b,

and the middle value of the sorted set is

b.

Thus, the correct answer is D.

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