2004 AMC 12A 第 17 题

先试着解答 2004 AMC 12A 第 17 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2004 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

设

f

是满足以下性质的函数：

(i)

f(1) = 1

，且

(ii) 对任意正整数

n

，都有

f(2n) = n \cdot f(n)

。

f(2^{100})

的值是多少？

Let

f

be a function with the following properties:

(i)

f(1) = 1,

and

(ii)

f(2n) = n \cdot f(n)

for any positive integer

n.

What is the value of

f(2^{100})?

1

2^{99}

2^{100}

2^{4950}

2^{9999}

答案：D

知识点：函数方程递推求和

难度评级：1720

小提示：

反复用

n = 2^{k}

代入规则，展开

f(2^{100})

。

Apply the rule repeatedly with

n = 2^{k}

to unwind

f(2^{100})

大提示：

指数按

1 + 2 + \cdots + 99

累加。

The exponent accumulates as

1 + 2 + \cdots + 99

解答：

在

f(2n) = n \cdot f(n)

中令

n = 2^{k}

得到

f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k})

。

从

f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0

，展开，指数累加为

\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}} \end{aligned}\text{。}

因此

f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}

。

所以正确答案是 D。

Applying

f(2n) = n \cdot f(n)

with

n = 2^{k},

we get

f(2^{k+1}) = 2^{k} \cdot f(2^{k}).

Unwinding from

f(2^1) = f(2) = 1 \cdot f(1) = 2^0,

the exponents accumulate:

\begin{aligned} f(2^n) &= 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} \\ &= 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. \end{aligned}

Therefore

f(2^{100}) = 2^{\frac{100 \cdot 99}{2}} = 2^{4950}.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 17 题