1997 AMC 12 第 17 题

Question

直线

x=k

分别与函数

y=\log_5x

和

y=\log_5(x+4)

的图像相交。两个交点之间的距离为

0.5

。已知

k=a+\sqrt b

，其中

a

和

b

都是整数，求

a+b

。

A line

x=k

intersects the graph of

y=\log_5x

and the graph of

y=\log_5(x+4).

The distance between the points of intersection is

0.5.

Given that

k=a+\sqrt b,

where

a

and

b

are integers, what is

a+b?

6

7

8

9

10

答案：A

知识点：logarithms radical equations

难度评级：1590

小提示：

两个交点的

x

坐标都是

k

，所以它们之间的距离就是两个对数值之差

Because both points have

x

-coordinate

k

, their distance is the difference of their logarithms

大提示：

合并两个对数，再以

5

为底取指数

Combine the logarithms and exponentiate base

5

解答：

两个交点的竖直距离满足

\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5 \end{aligned}\text{。}

因此

\frac{k+4}{k}=\sqrt5

，所以

k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5

。于是

a+b=1+5=6

，正确答案是 A。

The vertical distance is

\begin{aligned} \log_5(k+4)-\log_5k &=\frac12,\\ \frac{k+4}{k}&=\sqrt5. \end{aligned}

Thus

\frac{k+4}{k}=\sqrt5,

so

k=\frac{4}{\sqrt5-1}=1+\sqrt5.

Therefore

a+b=1+5=6,

and A is correct.

1997 AMC 12 第 17 题

答案：A

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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