Question

Dos triángulos no congruentes tienen la misma área. Cada triángulo tiene lados de longitud $8$ y $9,$ y el tercer lado de cada triángulo tiene longitud entera. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los terceros lados?

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length $8$ and $9,$ and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

Respuesta: C

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

El área con ángulo incluido $\theta$ es $36\sin\theta,$ así que dos triángulos de igual área usan los ángulos $\theta$ y $180^\circ - \theta,$ cuyos cosenos son $\pm\cos\theta.$ Por la ley de los cosenos, los terceros lados satisfacen $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ y por ello $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ Como $290\equiv2\pmod8,$ ambos lados enteros deben ser impares. Al comprobar los cuadrados impares en el intervalo dado por la desigualdad triangular $1\lt t\lt17$ , solo queda $11^2+13^2=121+169=290.$ Por lo tanto, la suma es $24.$

Así, la respuesta correcta es C.

The area with included angle $\theta$ is $36\sin\theta,$ so two triangles of equal area use angles $\theta$ and $180^\circ - \theta,$ with cosines $\pm\cos\theta.$ By the law of cosines the third sides satisfy $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ hence $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ Since $290\equiv2\pmod8,$ both integer sides must be odd. Checking the odd squares in the triangle-inequality range $1\lt t\lt17$ leaves only $11^2+13^2=121+169=290.$ Therefore the sum is $24.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

El Problema 21 en otros años