2025 AMC 12B Problema 21

Question

Dos triángulos no congruentes tienen la misma área. Cada triángulo tiene lados de longitud

8

y

9,

y el tercer lado de cada triángulo tiene longitud entera. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los terceros lados?

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length

8

and

9,

and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

20

22

24

26

28

Respuesta: C

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Con lados

8

y

9

y ángulo incluido

\theta,

el área es

36\sin\theta,

así que áreas iguales provienen de

\theta

y

180^\circ - \theta

.

With sides

8

and

9

and included angle

\theta,

the area is

36\sin\theta,

so equal areas come from

\theta

and

180^\circ - \theta

Pista grande:

Por la ley de cosenos, los terceros lados satisfacen

t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,

así que

t_1^2 + t_2^2 = 290

By the law of cosines the third sides satisfy

t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,

so

t_1^2 + t_2^2 = 290

Solución:

El área con ángulo incluido

\theta

es

36\sin\theta,

así que dos triángulos de igual área usan los ángulos

\theta

y

180^\circ - \theta,

cuyos cosenos son

\pm\cos\theta.

Por la ley de los cosenos, los terceros lados satisfacen

t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,

y por ello

t_1^2 + t_2^2 = 290.

Como

290\equiv2\pmod8,

ambos lados enteros deben ser impares. Al comprobar los cuadrados impares en el intervalo dado por la desigualdad triangular

1\lt t\lt17

, solo queda

11^2+13^2=121+169=290.

Por lo tanto, la suma es

24.

Así, la respuesta correcta es C.

The area with included angle

\theta

is

36\sin\theta,

so two triangles of equal area use angles

\theta

and

180^\circ - \theta,

with cosines

\pm\cos\theta.

By the law of cosines the third sides satisfy

t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,

hence

t_1^2 + t_2^2 = 290.

Since

290\equiv2\pmod8,

both integer sides must be odd. Checking the odd squares in the triangle-inequality range

1\lt t\lt17

leaves only

11^2+13^2=121+169=290.

Therefore the sum is

24.

Thus, the correct answer is C.