2025 AMC 12B Problema 18

Question

Awnik juega repetidamente un juego que tiene una probabilidad de ganar de

\dfrac{1}{3}.

Los resultados de los juegos son independientes. ¿Cuál es el valor esperado del número de juegos que jugará hasta que haya ganado y perdido al menos una vez cada uno?

Awnik repeatedly plays a game that has a probability of winning of

\dfrac{1}{3}.

The outcomes of the games are independent. What is the expected value of the number of games he will play until he has both won and lost at least once?

\dfrac{5}{2}

3

\dfrac{16}{5}

\dfrac{7}{2}

\dfrac{15}{4}

Respuesta: D

Conceptos:valor esperado distribución geométrica

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Después del primer juego ya tienes un resultado; luego solo esperas el resultado contrario.

After the first game you already have one outcome; you then wait only for the opposite outcome

Pista grande:

El número esperado de juegos para obtener un resultado de probabilidad

p

es

\dfrac{1}{p};

condiciona según si el primer juego es victoria o derrota.

The expected number of games to get an outcome of probability

p

is

\dfrac{1}{p};

condition on whether the first game is a win or a loss

Solución:

El primer juego produce un resultado. Si fue una victoria (probabilidad

\tfrac{1}{3}

), la espera esperada de una derrota es

\tfrac{1}{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2};

si fue una derrota (probabilidad

\tfrac{2}{3}

), la espera esperada de una victoria es

\tfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3.

Así que el total esperado es

1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2

= \tfrac{7}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first game produces one outcome. If it was a win (probability

\tfrac{1}{3}

), the expected wait for a loss is

\tfrac{1}{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2};

if it was a loss (probability

\tfrac{2}{3}

), the expected wait for a win is

\tfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3.

So the expected total is

1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2

= \tfrac{7}{2}.

Thus, the correct answer is D.