2025 AMC 12A Problema 25

Question

Los polinomios

P(x)

y

Q(x)

tienen cada uno grado

3

y coeficiente principal

1,

y sus raíces son todas elementos de

\{1, 2, 3, 4, 5\}.

La función

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}

tiene la propiedad de que existen números reales

a \lt b \lt c \lt d

tales que el conjunto de todos los números reales

x

tales que

f(x) \le 0

consta del intervalo cerrado

[a, b]

junto con el intervalo abierto

(c, d).

¿Cuántas funciones

f(x)

son posibles?

Polynomials

P(x)

and

Q(x)

each have degree

3

and leading coefficient

1,

and their roots are all elements of

\{1, 2, 3, 4, 5\}.

The function

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}

has the property that there exist real numbers

a \lt b \lt c \lt d

such that the set of all real numbers

x

such that

f(x) \le 0

consists of the closed interval

[a, b]

together with the open interval

(c, d).

How many functions

f(x)

are possible?

7

9

11

12

13

Respuesta: E

Conceptos:función polinomio análisis por casos

Nivel de dificultad: 2540

Pista pequeña:

Los extremos cerrados deben ser ceros de

P,

y los extremos abiertos deben ser ceros de

Q

The closed endpoints must be zeros of

P,

and the open endpoints must be zeros of

Q

Pista grande:

Una vez fijados esos cuatro factores de los extremos, los factores restantes del numerador y del denominador deben cancelarse; cuenta funciones distintas, no pares de polinomios

After those four endpoint factors are fixed, the remaining numerator and denominator factors must cancel; count distinct functions, not polynomial pairs

Solución:

Este problema fue anulado: tal como está escrito, su respuesta no aparece entre las opciones. Este es el conteo.

Para

\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),

los extremos

a, b

del intervalo cerrado deben ser ceros de

P

en los que

Q\ne0,

mientras que

c,d

deben ser polos. El patrón de signos requerido es, por tanto, el de

g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}.

El tercer factor no usado de

P

debe coincidir con el tercer factor no usado de

Q;

de lo contrario habría un cero, polo o cambio de signo adicional.

Si el factor común es el quinto valor que no está entre

a,b,c,d,

no puede crear un agujero dentro de ninguno de los intervalos. En la lista ordenada de cinco valores, puede estar antes de

a,

entre

b

y

c,

o después de

d,

lo que da

3

funciones.

Como alternativa, el factor común puede ser igual a

c

o

d.

Para cada una de las

\binom54=5

elecciones de

a,b,c,d,

estos dos pares de polinomios se simplifican a la misma fórmula

g

y tienen el mismo dominio (ambos omiten

c,d

), así que definen una sola función. Esto da

5

funciones más, para un total literal de

3+5=8.

Contar por separado los dos pares de polinomios en cada uno de los cinco últimos casos da

3+2\cdot5=13,

la respuesta provisional (E), pero eso no responde a la pregunta formulada sobre funciones. Por tanto, ninguna opción impresa es correcta.

This problem was voided: as written, its answer is not among the choices. Here is the count.

For

\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),

the endpoints

a, b

of the closed interval must be zeros of

P

at which

Q\ne0,

while

c,d

must be poles. The required sign pattern is therefore that of

g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}.

The unused third factor of

P

must match the unused third factor of

Q;

otherwise there would be an extra zero, pole, or sign change.

If the common factor is the fifth value not among

a,b,c,d,

it cannot make a hole inside either interval. In the ordered list of five values it may therefore occur before

a,

between

b

and

c,

or after

d,

giving

3

functions.

Alternatively, the common factor can equal

c

or

d.

For each of the

\binom54=5

choices of

a,b,c,d,

these two polynomial pairs simplify to the same formula

g

and have the same domain (both omit

c,d

), so they define only one function. This gives

5

more functions, for a literal total of

3+5=8.

Counting the two polynomial pairs separately in each of the last five cases gives

3+2\cdot5=13,

the provisional answer (E), but that does not answer the stated question about functions. Thus none of the printed choices is correct.