2025 AMC 12A Problema 12

Question

La media armónica de una colección de números es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números de la colección. Por ejemplo, la media armónica de

4,

4,

y

5

es

\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.

¿Cuál es la media armónica de todas las raíces reales del polinomio de grado

4050

\begin{aligned} &\small \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ &= (x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ &\quad (2025x^2 - 4x - 3)? \end{aligned}

The harmonic mean of a collection of numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of the numbers in the collection. For example, the harmonic mean of

4,

4,

and

5

is

\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.

What is the harmonic mean of all the real roots of the

4050

th degree polynomial

\begin{aligned} &\small \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ &= (x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ &\quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ &\quad (2025x^2 - 4x - 3)? \end{aligned}

-\dfrac{5}{3}

-\dfrac{3}{2}

-\dfrac{6}{5}

-\dfrac{5}{6}

-\dfrac{2}{3}

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática media armónica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La media armónica es

\dfrac{N}{\sum \frac{1}{r}},

donde

N

es el número de raíces

The harmonic mean is

\dfrac{N}{\sum \frac{1}{r}},

where

N

is the number of roots

Pista grande:

Para

kx^2 - 4x - 3,

las dos raíces tienen suma de recíprocos

\dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},

la misma para todo

k

For

kx^2 - 4x - 3,

the two roots have reciprocal-sum

\dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},

the same for every

k

Solución:

Cada factor

kx^2 - 4x - 3

tiene discriminante

16 + 12k \gt 0,

así que tiene dos raíces reales; en total hay

4050

raíces.

Para las raíces de

kx^2 - 4x - 3,

la suma de los recíprocos es

\dfrac{\text{suma}}{\text{producto}} = \dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},

independiente de

k.

Sumando sobre los

2025

factores,

\displaystyle\sum \frac{1}{r} = 2025\left(-\frac{4}{3}\right) = -2700.

La media armónica es

\frac{4050}{-2700} = -\frac{3}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each factor

kx^2 - 4x - 3

has discriminant

16 + 12k \gt 0,

so it has two real roots; there are

4050

roots in all.

For the roots of

kx^2 - 4x - 3,

the sum of reciprocals is

\dfrac{\text{sum}}{\text{product}} = \dfrac{\frac{4}{k}}{-\frac{3}{k}} = -\dfrac{4}{3},

independent of

k.

Summing over all

2025

factors,

\displaystyle\sum \frac{1}{r} = 2025\left(-\frac{4}{3}\right) = -2700.