2024 AMC 12A Problema 21

Question

Supongamos que

a_1=2

y la sucesión

(a_n)

satisface la relación de recurrencia

\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}

para todo

n\ge2.

Halla el mayor entero menor o igual que

\sum_{n=1}^{100}a_n^2?

Suppose that

a_1=2

and the sequence

(a_n)

satisfies the recurrence relation

\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}

for all

n\ge2.

What is the greatest integer less than or equal to

\sum_{n=1}^{100}a_n^2?

338{,}550

338{,}551

338{,}552

338{,}553

338{,}554

Respuesta: B

Conceptos:recursión suma de los primeros n cuadrados acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Calcula algunos términos y conjetura la forma cerrada

a_n=n+\dfrac1n

Compute a few terms and conjecture the closed form

a_n=n+\dfrac1n

Pista grande:

Entonces

a_n^2=n^2+2+\dfrac1{n^2},

y

\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\dfrac1{n^2}

está estrictamente entre

1

y

2

Then

a_n^2=n^2+2+\dfrac1{n^2},

and

\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\dfrac1{n^2}

lies strictly between

1

and

2

Solución:

La recurrencia se reordena como

a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).

Los primeros términos

2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots

sugieren que

a_n=n+\tfrac1n.

Esto se demuestra por inducción: al sustituir

a_{n-1}=n-1+\tfrac1{n-1}

en la recurrencia, se obtiene

a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(n+\tfrac1{n-1})

=n+\tfrac1n.

Entonces

a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},

así que

\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}

donde

S\gt1

y

S\lt1+\int_1^\infty x^{-2}\,dx=2.

Por tanto, la suma está entre

338551

y

338552,

y su parte entera es

338551.

Así, la respuesta correcta es B.

The recurrence rearranges to

a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).

Computing early terms

2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots

suggests

a_n=n+\tfrac1n.

This follows by induction: substituting

a_{n-1}=n-1+\tfrac1{n-1}

into the recurrence gives

a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(n+\tfrac1{n-1})

=n+\tfrac1n.

Then

a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},

so

\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}

where

S\gt1

and

S\lt1+\int_1^\infty x^{-2}\,dx=2.

Hence the sum is between

338551

and

338552,

and its floor is

338551.

Thus, the correct answer is B.