2023 AMC 12B Problema 12

Question

Para los números complejos

u=a+bi

y

v=c+di,

define la operación binaria

\otimes

mediante

u\otimes v=ac+bdi.

Supón que

z

es un número complejo tal que

z\otimes z=z^2+40.

¿Cuánto vale

|z|

?

For complex numbers

u=a+bi

and

v=c+di,

define the binary operation

\otimes

by

u\otimes v=ac+bdi.

Suppose

z

is a complex number such that

z\otimes z=z^2+40.

What is

|z|?

2

5

\sqrt{5}

\sqrt{10}

5\sqrt{2}

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada número complejo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe

z=a+bi;

entonces

z\otimes z=a^2+b^2 i

mientras que

z^2=a^2-b^2+2abi

Write

z=a+bi;

then

z\otimes z=a^2+b^2 i

while

z^2=a^2-b^2+2abi

Pista grande:

Iguala las partes real e imaginaria de

z\otimes z=z^2+40,

luego calcula

a^2+b^2

Match real and imaginary parts of

z\otimes z=z^2+40,

then compute

a^2+b^2

Solución:

Con

z=a+bi,

tenemos

z\otimes z=a^2+b^2 i

y

z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.

Las partes reales dan

a^2=a^2-b^2+40,

así que

b^2=40.

Las partes imaginarias dan

b^2=2ab,

así que

b=2a

y

a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.

Entonces

|z|^2=a^2+b^2=50,

por lo que

|z|=5\sqrt{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

With

z=a+bi,

we have

z\otimes z=a^2+b^2 i

and

z^2+40=(a^2-b^2+40)+2abi.

The real parts give

a^2=a^2-b^2+40,

so

b^2=40.

The imaginary parts give

b^2=2ab,

so

b=2a

and

a^2=\tfrac{b^2}{4}=10.

Then

|z|^2=a^2+b^2=50,

so

|z|=5\sqrt{2}.

Thus, the correct answer is E.