2021 AMC 12A Fall Problema 12

Question

¿Cuál es el número de términos con coeficientes racionales entre los

1001

términos en la expansión de

\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?

What is the number of terms with rational coefficients among the

1001

terms in the expansion of

\left(x\sqrt[3]{2} + y\sqrt{3}\right)^{1000}?

0

166

167

500

501

Respuesta: C

Conceptos:teorema del binomio divisibilidad

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El término de índice

k

lleva

2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};

la racionalidad requiere que

1000 - k

sea múltiplo de

3

y que

k

sea múltiplo de

2

.

The term for index

k

carries

2^{\frac{1000-k}{3}}\,3^{\frac{k}{2}};

rationality needs

1000 - k

to be a multiple of

3

and

k

to be a multiple of

2

Pista grande:

Esto obliga a

k \equiv 1 \pmod 3

y

k

par, es decir,

k \equiv 4 \pmod 6

.

These force

k \equiv 1 \pmod 3

and

k

even, i.e.

k \equiv 4 \pmod 6

Solución:

El término general es

\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},

cuyo coeficiente contiene

2^{\frac{1000-k}{3}}

y

3^{\frac{k}{2}}.

Esto es racional exactamente cuando

(1000 - k)

es múltiplo de

3

y

k

es par.

Como

1000 \equiv 1 \pmod 3,

necesitamos

k \equiv 1 \pmod 3

y

k

par, lo que se combina en

k \equiv 4 \pmod 6.

Los valores válidos

k = 4, 10, \ldots, 1000

suman

\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The general term is

\binom{1000}{k}(x\sqrt[3]{2})^{1000-k}(y\sqrt{3})^{k},

whose coefficient contains

2^{\frac{1000-k}{3}}

and

3^{\frac{k}{2}}.

This is rational exactly when

(1000 - k)

is a multiple of

3

and

k

is even.

Since

1000 \equiv 1 \pmod 3,

we need

k \equiv 1 \pmod 3

and

k

even, which combine to

k \equiv 4 \pmod 6.

The valid values

k = 4, 10, \ldots, 1000

number

\dfrac{1000 - 4}{6} + 1 = 167.

Thus, the correct answer is C.