2021 AMC 12B Spring Problema 20

Question

Sean

Q(z)

y

R(z)

los únicos polinomios tales que

\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}

y el grado de

R

es menor que

2.

¿Cuál es

R(z)

?

Let

Q(z)

and

R(z)

be the unique polynomials such that

\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}

and the degree of

R

is less than

2.

What is

R(z)?

-z

-1

2021

z+1

2z+1

Respuesta: A

Conceptos:polinomio raíces de la unidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Módulo

z^2+z+1

tenemos

z^3\equiv 1,

ya que

z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

Modulo

z^2+z+1

we have

z^3\equiv 1,

since

z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

Pista grande:

Reduce el exponente

2021

módulo

3,

y luego reduce

z^2

usando

z^2\equiv -z-1

Reduce the exponent

2021

modulo

3,

then reduce

z^2

using

z^2\equiv -z-1

Solución:

Como

z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}

y

2021=3\cdot 673+2,

tenemos

z^{2021}\equiv z^2.

Así que

z^{2021}+1\equiv z^2+1.

Reduciendo aún más con

z^2\equiv -z-1,

esto es

-z-1+1=-z.

Por lo tanto

R(z)=-z.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}

and

2021=3\cdot 673+2,

we have

z^{2021}\equiv z^2.

So

z^{2021}+1\equiv z^2+1.

Reducing further with

z^2\equiv -z-1,

this is

-z-1+1=-z.

Therefore

R(z)=-z.

Thus, the correct answer is A.