Question

Todas las raíces del polinomio $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de $B$ ?

All the roots of the polynomial $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces suman $10$ (el opuesto del coeficiente de $z^5$ ) y su producto es $16.$ Por tanto, cada raíz es una potencia $2^{e_i},$ con $\sum e_i=4.$ Como $2^{e_i}\ge 1+e_i,$ la suma de las raíces es al menos $6+4=10.$ La igualdad ocurre solo cuando cada $e_i$ es $0$ o $1,$ así que las raíces deben ser $2,2,2,2,1,1.$

El polinomio es entonces $(z - 1)^2 (z - 2)^4.$ Al desarrollar, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ El coeficiente de $z^3$ es $B = -88.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta's formulas the six roots sum to $10$ (the negative of the $z^5$ coefficient) and multiply to $16.$ Thus every root is a power $2^{e_i},$ with $\sum e_i=4.$ Since $2^{e_i}\ge 1+e_i,$ the roots have sum at least $6+4=10.$ Equality holds only when every $e_i$ is $0$ or $1,$ so the roots must be $2,2,2,2,1,1.$

So the polynomial is $(z - 1)^2 (z - 2)^4.$ Expanding, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ The coefficient of $z^3$ is $B = -88.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12A Spring Problema 12

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

El Problema 12 en otros años