2021 AMC 12A Spring Problema 12

Question

Todas las raíces del polinomio

z^6 - 10z^5 + Az^4

+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16

son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de

B

?

All the roots of the polynomial

z^6 - 10z^5 + Az^4

+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16

are positive integers, possibly repeated. What is the value of

B?

-88

-80

-64

-41

-40

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Las seis raíces enteras positivas suman

10

y multiplican

16;

encuentra el multiconjunto.

The six positive integer roots sum to

10

and multiply to

16;

find the multiset

Pista grande:

Las raíces son

2, 2, 2, 2, 1, 1;

B

es igual a

-1

por la suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres.

The roots are

2, 2, 2, 2, 1, 1;

B

equals

-1

times the sum of products of the roots taken three at a time

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces suman

10

(el opuesto del coeficiente de

z^5

) y su producto es

16.

Por tanto, cada raíz es una potencia

2^{e_i},

con

\sum e_i=4.

Como

2^{e_i}\ge 1+e_i,

la suma de las raíces es al menos

6+4=10.

La igualdad ocurre solo cuando cada

e_i

es

0

o

1,

así que las raíces deben ser

2,2,2,2,1,1.

El polinomio es entonces

(z - 1)^2 (z - 2)^4.

Al desarrollar,

\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}

El coeficiente de

z^3

es

B = -88.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta’s formulas the six roots sum to

10

(the negative of the

z^5

coefficient) and multiply to

16.

Thus every root is a power

2^{e_i},

with

\sum e_i=4.

Since

2^{e_i}\ge 1+e_i,

the roots have sum at least

6+4=10.

Equality holds only when every

e_i

is

0

or

1,

so the roots must be

2,2,2,2,1,1.

So the polynomial is

(z - 1)^2 (z - 2)^4.

Expanding,

\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}

The coefficient of

z^3

is

B = -88.

Thus, the correct answer is A.