2020 AMC 12B Problema 21

Question

¿Cuántos enteros positivos

n

satisfacen

\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?

(Recuerda que

\lfloor x \rfloor

es el mayor entero que no supera a

x.

)

How many positive integers

n

satisfy

\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?

(Recall that

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer not exceeding

x.

)

2

4

6

30

32

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo sustitución desigualdad

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Sea

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor,

de modo que

n = 70k - 1000

debe satisfacer

k^2 \le n \lt (k + 1)^2

.

Let

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor,

so

n = 70k - 1000

must satisfy

k^2 \le n \lt (k + 1)^2

Pista grande:

Esto da

k^2 - 70k + 1000 \le 0

y

k^2 - 68k + 1001 \gt 0;

cuenta los enteros

k

.

This gives

k^2 - 70k + 1000 \le 0

and

k^2 - 68k + 1001 \gt 0;

count integer

k

Solución:

El lado derecho es un entero, así que sea

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.

Entonces

n = 70k - 1000,

y

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

requiere

k^2 \le n \lt (k + 1)^2.

La cota inferior

k^2 \le 70k - 1000

da

k^2 - 70k + 1000 \le 0,

es decir

20 \le k \le 50.

La cota superior

70k - 1000 \lt (k + 1)^2

da

k^2 - 68k + 1001 \gt 0,

es decir

k \le 21

o

k \ge 47.

Intersecando,

k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},

lo que da

6

valores de

n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The right side is an integer, so let

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.

Then

n = 70k - 1000,

and

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

requires

k^2 \le n \lt (k + 1)^2.

The lower bound

k^2 \le 70k - 1000

gives

k^2 - 70k + 1000 \le 0,

i.e.

20 \le k \le 50.

The upper bound

70k - 1000 \lt (k + 1)^2

gives

k^2 - 68k + 1001 \gt 0,

i.e.

k \le 21

or

k \ge 47.

Intersecting,

k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},

giving

6

values of

n.

Thus, the correct answer is C.