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2020 AMC 12A Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2020 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

La recta ℓ\ell en el plano coordenado tiene la ecuación 3x−5y+40=0.3x - 5y + 40 = 0. Esta recta se rota 45∘45^\circ en sentido antihorario alrededor del punto (20,20)(20, 20) para obtener la recta k.k. ¿Cuál es la coordenada xx del intercepto en xx de la recta kk?
Line ℓ\ell in the coordinate plane has the equation 3x−5y+40=0.3x - 5y + 40 = 0. This line is rotated 45∘45^\circ counterclockwise about the point (20,20)(20, 20) to obtain line k.k. What is the xx-coordinate of the xx-intercept of line k?k?
1010
1515
2020
2525
3030
Respuesta: B
Conceptos:pendientetransformacióngeometría analítica
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
El punto (20,20)(20, 20) está sobre ℓ,\ell, así que también está sobre k;k; halla la nueva pendiente
The point (20,20)(20, 20) lies on ℓ,\ell, so it also lies on k;k; find the new slope
Pista grande:
Rotar una pendiente mm en 45∘45^\circ da m+11−m\dfrac{m + 1}{1 - m}.
Rotating a slope mm by 45∘45^\circ gives m+11−m\dfrac{m + 1}{1 - m}
Solución:
Nota que (20,20)(20, 20) satisface 3x−5y+40=0,3x - 5y + 40 = 0, así que está sobre ℓ\ell y permanece sobre k.k. La pendiente de ℓ\ell es 35.\tfrac{3}{5}.
Rotar en 45∘45^\circ da la pendiente 35+11−35=8525=4.\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.
La recta kk es y−20=4(x−20).y - 20 = 4(x - 20). Haciendo y=0y = 0 se obtiene −20=4(x−20),-20 = 4(x - 20), así que x−20=−5x - 20 = -5 y x=15.x = 15.
Por lo tanto, B es la respuesta correcta.
Note (20,20)(20, 20) satisfies 3x−5y+40=0,3x - 5y + 40 = 0, so it is on ℓ\ell and remains on k.k. The slope of ℓ\ell is 35.\tfrac{3}{5}.
Rotating by 45∘45^\circ gives slope 35+11−35=8525=4.\dfrac{\tfrac35 + 1}{1 - \tfrac35} = \dfrac{\tfrac85}{\tfrac25} = 4.
Line kk is y−20=4(x−20).y - 20 = 4(x - 20). Setting y=0y = 0 gives −20=4(x−20),-20 = 4(x - 20), so x−20=−5x - 20 = -5 and x=15.x = 15.
Thus, B is the correct answer.

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