2019 AMC 12B Problema 20

Question

Los puntos

A(6,13)

y

B(12,11)

están sobre el círculo

\omega

en el plano. Supón que las rectas tangentes a

\omega

en

A

y

B

se cortan en un punto sobre el eje

x

. ¿Cuál es el área de

\omega

?

Points

A(6,13)

and

B(12,11)

lie on circle

\omega

in the plane. Suppose that the tangent lines to

\omega

at

A

and

B

intersect at a point on the

x

-axis. What is the area of

\omega?

\dfrac{83\pi}{8}

\dfrac{21\pi}{2}

\dfrac{85\pi}{8}

\dfrac{43\pi}{4}

\dfrac{87\pi}{8}

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente geometría analítica

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Longitudes de tangente iguales ponen el punto de intersección a igual distancia de

A

y

B

Equal tangent lengths put the intersection point equidistant from

A

and

B

Pista grande:

Halla ese punto sobre el eje

x

, luego usa

OA\perp PA

y

OB\perp PB

para ubicar el centro

O

Find that point on the

x

-axis, then use

OA\perp PA

and

OB\perp PB

to locate the center

O

Solución:

Sea

P=(x,0)

la intersección. Longitudes de tangente iguales dan

PA=PB,

así que

(x-6)^2+13^2

=(x-12)^2+11^2,

lo que da

x=5

y

P=(5,0).

El centro

O=(h,k)

satisface

OA\perp PA

y

OB\perp PB.

Con

PA=(1,13)

y

PB=(7,11),

estas dan

h+13k=175

y

7h+11k=205,

así que

O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right).

Entonces

r^2=OA^2

=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2

=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8},

así que el área es

\dfrac{85\pi}{8}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let

P=(x,0)

be the intersection. Equal tangent lengths give

PA=PB,

so

(x-6)^2+13^2

=(x-12)^2+11^2,

yielding

x=5

and

P=(5,0).

The center

O=(h,k)

satisfies

OA\perp PA

and

OB\perp PB.

With

PA=(1,13)

and

PB=(7,11),

these give

h+13k=175

and

7h+11k=205,

so

O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right).

Then

r^2=OA^2

=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2

=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8},

so the area is

\dfrac{85\pi}{8}.

Thus, C is the correct answer.