2018 AMC 12B Problema 18

Question

Una función

f

se define recursivamente por

f(1)=f(2)=1

y

f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n

para todos los enteros

n\ge3.

¿Cuánto vale

f(2018)

?

A function

f

is defined recursively by

f(1)=f(2)=1

and

f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n

for all integers

n\ge3.

What is

f(2018)?

2016

2017

2018

2019

2020

Calcula varios términos y busca un patrón en

f(n)-n

.

Compute several terms and look for a pattern in

f(n)-n

Al expandir la recursión cuatro veces se muestra que

f(n)=f(n-6)+6

.

Expanding the recursion four times shows

f(n)=f(n-6)+6

Sustituyendo repetidamente la recursión en sí misma se obtiene

f(n)=f(n-6)+6.

Así que

f

aumenta en

6

cada vez que

n

aumenta en

6.

Como

2018=2+6\cdot336,

tenemos

f(2018)=f(2)+6\cdot336

=1+2016=2017.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Repeatedly substituting the recursion into itself gives

f(n)=f(n-6)+6.

So

f

increases by

6

every time

n

increases by

6.

Since

2018=2+6\cdot336,

we have

f(2018)=f(2)+6\cdot336

=1+2016=2017.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 18 en otros años