2017 AMC 12A Problema 18

Question

Sea

S(n)

igual a la suma de los dígitos del entero positivo

n.

Por ejemplo,

S(1507)=13.

Para cierto entero positivo

n,

S(n)=1274.

¿Cuál de los siguientes podría ser el valor de

S(n+1)

?

Let

S(n)

equal the sum of the digits of positive integer

n.

For example,

S(1507)=13.

For a particular positive integer

n,

S(n)=1274.

Which of the following could be the value of

S(n+1)?

1

3

12

1239

1265

Respuesta: D

Conceptos:dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si

n

termina en exactamente

k

nueves, sumar

1

reduce la suma de dígitos en

9k

y añade

1

If

n

ends in exactly

k

nines, adding

1

drops the digit sum by

9k

and adds

1

Pista grande:

Así que

S(n+1)=1275-9k;

revisa qué opción tiene esta forma

So

S(n+1)=1275-9k;

check which choice has this form

Solución:

Sumar

1

a

n

aumenta la suma de dígitos en

1,

salvo que cada

9

al final se convierte en un

0,

perdiendo

9.

Si

n

termina en exactamente

k

nueves, entonces

S(n+1)=S(n)+1-9k

=1275-9k.

Así que los valores posibles son

1275,1266,1257,\ldots

Entre las opciones, solo

1239=1275-9\cdot4

encaja (por ejemplo,

n

terminando en cuatro

9

precedidos de suficientes

1

).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding

1

to

n

increases the digit sum by

1,

except that each trailing

9

turns into a

0,

losing

9.

If

n

ends in exactly

k

nines, then

S(n+1)=S(n)+1-9k

=1275-9k.

So the possible values are

1275,1266,1257,\ldots

Among the choices, only

1239=1275-9\cdot4

fits (for example,

n

ending in four

9

s preceded by enough

1

s).

Thus, the correct answer is D.